Татбиқи табдили Фурье барои таҳлили сигналҳои ларзиш

Andrei Shelkovenko. Яке аз таҳиягарон ва асосгузори Vibromera.
Тарҷумаи мақола метавонад нодурустиҳо дошта бошад.

Табдили Фурье ва спектри сигнал

Дар бисёр ҳолатҳо вазифаи ба даст овардан (ҳисоб кардан) спектри спектри басомадҳо сигнал чунин аст. Як ADC мавҷуд аст, ки бо басомади намунагирӣ басомад Fd сигнали пайвастаро, ки дар давоми вақти T ба вуруди он мерасад, ба намунаҳои рақамӣ – N дона табдил медиҳад. Сипас ин массиви намунаҳо ба барномае (масалан FourierScope) дода мешавад, ки N/2 қиматҳои рақамии муайянро хориҷ мекунад.

Барои санҷиши дуруст кор кардани барнома, мо массиви намунаҳоро ҳамчун ҷамъи ду sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) ташкил медиҳем ва онро ба барнома мегузорем. Барнома чунин кашид:

 

 

Ду гармоникаҳо дар графики спектр – 5 Hz бо амплитудаи 0.5 V ва 10 Hz бо амплитудаи 1 V, ҳама чиз ҳамон тавре аст, ки дар формулаи сигнали аслӣ. Ҳама чиз хуб аст, барнома дуруст кор мекунад.

Ин маънои онро дорад, ки агар мо сигнали воқеиро аз омехтаи ду синусоида ба вуруди ADC диҳем, спектри монанде, ки аз ду гармоника иборат аст, ба даст меорем.

Пас, мо воқеӣ сигнали ченшуда бо давомнокии 5 сония, ки бо ADC рақамӣ шудааст, яъне ифодашуда бо намунаҳои дискретӣ, спектри дискретии ғайридаврӣ дорад спектри басомадҳо.
Аз нуқтаи назари риёзӣ – чанд хатогӣ дар ин ҷумла ҳаст?

Акнун биёед кӯшиш кунем, ки ҳамон сигналро барои 0.5 сония чен кунем.

 

 

Дар ин ҷо чизе нодуруст аст! Гармоника дар 10 Hz оддӣ кашида шудааст, ва ба ҷои гармоника дар 5 Hz баъзе гармоникаҳои номаълум ҳастанд.

Дар Интернет мегӯянд, ки бояд сифрҳоро ба охири намуна илова кард ва спектр оддӣ кашида мешавад.

 

 

Ҳеҷ гоҳ чунин нест. Ман бояд бо назария машғул шавам. Биёед ба wikipedia – манбаи дониш равем.

Функсияи пайваста ва ифодаи қатори Фурье-и он

Аз нигоҳи риёзӣ, сигнали мо бо давомнокии T сония функсияи f(x)-и муайяншуда дар фосилаи {0, T} аст (X дар ин ҳолат вақт аст). Чунин функсия ҳамеша метавонад ҳамчун ҷамъи функсияҳои гармоникӣ (синус ё косинус) дар шакли зерин ифода шавад:

k рақами функсияи тригонометрӣ аст (рақами ҷузъи гармоникӣ, рақами гармоника)
T – порчае, ки функсия дар он муайян аст (давомнокии сигнал)
Ak- амплитудаи ҷузъи гармоникӣ-и k-ум,
θk- фазаи ибтидоии ҷузъи гармоникӣ-и k-ум
Ифодаи “ифода кардани функсия ҳамчун ҷамъи қатор” чӣ маъно дорад? Ин маънои онро дорад, ки бо ҷамъ кардани қиматҳои ҷузъҳои гармоникӣ-и қатори Фурье дар ҳар як нуқта, мо қимати функсияи худро дар он нуқта ба даст меорем.
(Дақиқтар, инҳирофи миёнаи квадратии қатор аз функсияи f(x) ба сифр майл мекунад, аммо сарфи назар аз ҳамгардии миёнаи квадратӣ, қатори Фурье-и функсия умуман набояд нуқта ба нуқта ба он ҳамгард шавад.)
Ин қаторро инчунин метавон дар шакли зерин навишт:

 

 

 

дар , амплитудаи мураккаби k-ум.

 

ё

 

 

 

Алоқаи байни коэффитсиентҳои (1) ва (3) бо формулаҳои зерин ифода мешавад:

 

 

 

 

Диққат диҳед, ки ҳамаи ин се ифодаи қатори Фурье комилан баробарқувваанд. Баъзан ҳангоми кор бо қатори Фурье, истифодаи дараҷаҳои аргументи хаёлӣ ба ҷои синусҳо ва косинусҳо, яъне истифодаи табдили Фурье дар шакли мураккаб қулайтар аст. Аммо барои мо истифодаи формулаи (1), ки дар он қатори Фурье ҳамчун ҷамъи косинусҳо бо амплитудаҳо ва фазаҳои мувофиқ ифода шудааст, қулай аст. Аз нигоҳи дақиқ, табдили Фурье-и сигнали воқеӣ коэффитсиентҳои мураккабро (шакли (3)) ҳосил мекунад: ҳар як коэффитсиент ҳам амплитуда ва ҳам фазаи гармоникаи худро интиқол медиҳад. Барои сигнали воқеӣ ин коэффитсиентҳои мураккаб симметрияи ҳамроҳ (Гермитӣ) доранд — нисфи басомади манфӣ танҳо нисфи басомади мусбатро оинавӣ акс мекунад ва маълумоти иловагӣ надорад. Аз ин рӯ, аз коэффитсиентҳои мураккаб, мо ҳамеша метавонем ба амплитудаҳои воқеии ғайриманфии Ak ва фазаҳои θk-и формулаи (1) гузарем — ва айнан ҳамин спектри амплитуда аст, ки барномаҳои таҳлилӣ мекашанд.

 

Хулосаи асосӣ:
Асоси риёзии таҳлили спектрӣи сигналҳо табдили Фурье мебошад.

Табдили Фурье имкон медиҳад, ки функсияи пайвастаи f(x) (сигнал), ки дар фосилаи {0, T} муайян шудааст, ҳамчун ҷамъи шумораи беохири (сериёи беохири) функсияҳои тригонометрӣ (синус ва/ё косинус) бо амплитудаҳо ва фазаҳои муайян, ки инчунин дар фосилаи {0, T} баррасӣ мешаванд, ифода карда шавад. Чунин сериё сериёи Фурье номида мешавад.

Баъзе нуқтаҳои дигарро, ки дарки онҳо барои татбиқи дурусти табдили Фурье ба таҳлили сигнал зарур аст, ба назар гиред. Агар мо сериёи Фурье (ҷамъи синусоидаҳоро) дар тамоми меҳвари X баррасӣ кунем, мебинем, ки берун аз фосилаи {0, T} функсияи сериёи Фурье функсияи моро давравӣ такрор мекунад.

Масалан, дар графики расми 7, функсияи аслӣ дар фосилаи {-T\2, +T\2} муайян шудааст ва сериёи Фурье функсияи давравиро, ки дар тамоми меҳвари x муайян шудааст, ифода мекунад.

Ин ба он сабаб аст, ки худи синусоидаҳо функсияҳои давравӣ мебошанд, бинобар ин ҷамъи онҳо низ функсияи давравӣ хоҳад буд.

Пас:

Функсияи аслии мо функсияи пайваста ва ғайридавравӣ аст, ки дар баъзе порчаи дарозии T муайян шудааст.
Спектри ин функсия дискретӣ аст, яъне он ҳамчун сериёи беохири компонентҳои гармоникӣ – сериёи Фурье ифода мешавад.
Дар асл, сериёи Фурье баъзе функсияҳои давравиро муайян мекунад, ки дар фосилаи {0, T} бо функсияи мо мувофиқат мекунад, аммо барои мо ин давравӣ муҳим нест.

Оянда.

Давраҳои компонентҳои гармоникӣ зарби фосилаи {0, T} мебошанд, ки дар он функсияи ибтидоии f(x) муайян шудааст. Бо ибораи дигар, давраҳои гармоникаҳо зарби давомнокии ченкунии сигнал мебошанд. Масалан, давраи гармоникаи аввал дар сериёи Фурье ба фосилаи T баробар аст, ки дар он функсияи f(x) муайян шудааст. Давраи гармоникаи дуюм дар сериёи Фурье ба фосилаи T/2 баробар аст. Ва ғайра (ба расми 8 нигаред).

Мувофиқан, басомадҳои компонентҳои гармоникӣ зарби 1/T мебошанд. Яъне, басомадҳои компонентҳои гармоникӣ Fk ба Fk= k\T баробаранд, ки дар он k қиматҳоро аз 0 то ∞ қабул мекунад, масалан, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T;k=3 F3=3\T;…. Fk= k\T (дар басомади сифр, компоненти доимӣ).

Бигзор функсияи ибтидоии мо сигнали сабтшуда дар давоми T=1 сония бошад. Он гоҳ давраи гармоникаи аввал ба давомнокии сигнали мо T1=T=1 сония баробар хоҳад буд ва басомади гармоника ба 1 Hz баробар аст. Давраи гармоникаи дуюм ба давомнокии сигнали мо тақсим бар 2 (T2=T/2=0.5 сония) баробар хоҳад буд ва басомад ба 2 Hz баробар аст. Барои гармоникаи сеюм, T3=T/3 сония ва басомад 3 Hz аст. Ва ғайра.

Қадами байни гармоникаҳо дар ин ҳолат 1 Hz аст.

Пас, сигнали бо давомнокии 1 сонияро метавон ба компонентҳои гармоникӣ (барои ба даст овардани спектр) бо қобилияти ҷудокунии басомади 1 Hz таҷзия кард.
Барои зиёд кардани қобилияти ҷудокунӣ 2 маротиба то 0.5 Hz, зарур аст, ки давомнокии ченкуниро 2 маротиба то 2 сония зиёд кунед. Сигнали 10-сонияро метавон ба компонентҳои гармоникӣ (спектр) бо қобилияти ҷудокунии басомади 0.1 Hz таҷзия кард. Роҳҳои дигари зиёд кардани қобилияти ҷудокунии басомад вуҷуд надоранд. Шумо метавонед ин робитаро бо мо омӯзед Ҳисобкунаки тафриқаи FFT.

Роҳе барои сунъӣ зиёд кардани давомнокии сигнал бо илова кардани сифрҳо ба массиви намунаҳо вуҷуд дорад. Аммо он қобилияти ҷудокунии басомади воқеиро зиёд намекунад.

Сигналҳои дискретӣ ва табдили дискретии Фурье

Бо рушди технологияи рақамӣ роҳҳои нигоҳдории маълумоти ченкунӣ (сигналҳо) тағйир ёфтанд. Дар ҳоле ки пештар сигналро метавон дар магнитофон сабт кард ва дар лента дар шакли аналогӣ нигоҳ дошт, ҳоло сигналҳо рақамӣ шуда ва дар файлҳо дар хотираи компютер ҳамчун маҷмӯи рақамҳо (ҳисобҳо) нигоҳ дошта мешаванд.

Схемаи оддии ченкунии сигнал ва рақамӣ кардан чунин аст.

Ҳосилкунандаи ченкунӣ —- Нормализатори сигнал —- ADC —– Компютер
(Расми 9 Схемаи канали ченкунӣ)

Сигнал аз ҳосилкунандаи ченкунӣ ба ADC барои давраи вақти T меравад. Хондани сигнал (намунагирӣ), ки дар давоми вақти T гирифта шудааст, ба компютер интиқол дода мешавад ва дар хотира сабт мешавад.

Чӣ талаботҳо ба параметрҳои рақамӣ кардани сигнал вуҷуд доранд? Асбобе, ки сигнали аналогии воридотиро ба коди дискретӣ (сигнали рақамӣ) табдил медиҳад, табдилдиҳандаи аналогӣ-рақамӣ (ADC) номида мешавад (© Wiki).

Яке аз параметрҳои асосии ADC суръати максималии намунагирӣ аст – басомади намунагирии сигнали пайваста дар вақт. Суръати намунагирӣ бо гертс чен карда мешавад. ((© Wiki))

Мувофиқи теоремаи Колмогоров, агар сигнали пайваста спектри маҳдудшуда бо басомади Fmax дошта бошад, онро метавон пурра ва ягона аз намунаҳои дискретии он, ки дар фосилаҳои вақтӣ Δt ≤ 1/(2*Fmax) гирифта шудаанд, яъне бо басомади намунагирӣ Fd ≥ 2*Fmax, барқарор кард, ки дар он Fd – басомади намунагирӣ; Fmax – басомади максималии спектри сигнал. Бо ибораи дигар, басомади рақамӣ кардани сигнал (басомади намунагирии ADC) бояд ҳадди ақал ду маротиба басомади максималии сигнали мо, ки мехоҳем чен кунем, бошад.

Ва чӣ мешавад, агар мо намунаҳоро бо басомади пасттар аз талаботи теоремаи Колмогоров гирем?

Дар ин ҳолат таъсири “алиасинг” (масалан, таъсири стробоскопӣ, таъсири муар) вуҷуд дорад, ки дар он сигнали басомади баланд пас аз рақамӣ шудан ба сигнали басомади паст табдил меёбад, ки дар асл вуҷуд надорад. Дар расми 11 мавҷи синусии сурхи басомади баланд сигнали воқеӣ аст. Мавҷи синусии кабуд бо басомади пасттар сигнали сохта аст, ки аз сабаби он ки дар давоми вақти намунагирӣ нисфи давраи сигнали басомади баланд гузаштааст, ба вуҷуд меояд.

 

Барои пешгирии таъсири алиасинг, филтри махсуси зидди-алиасинг (филтри пастгузар) пеш аз ADC ҷойгир карда мешавад. Он басомадҳои пасттар аз нисфи басомади намунагирии ADC-ро мегузаронад ва басомадҳои баландтарро бурида мекунад.

Барои ҳисоб кардани спектри сигнал аз намунаҳои дискретии он табдили дискретии Фурье (DFT) истифода мешавад. Боз таваҷҷӯҳ диҳед, ки спектри сигнали дискретӣ “аз рӯи таъриф” то басомади Fmax, ки аз нисфи басомади намунагирӣ Fd хурдтар аст, маҳдуд аст. Бинобар ин, спектри сигнали дискретиро метавон бо ҷамъи шумораи маҳдуди гармоникаҳо ифода кард, бар хилофи ҷамъи беохири барои сериёи Фурьеи сигнали пайваста, ки спектри он метавонад маҳдуд набошад. Мувофиқи теоремаи Колмогоров, басомади максималии гармоника бояд чунон бошад, ки он ҳадди ақал ду намунаро дар бар гирад, бинобар ин шумораи гармоникаҳо ба нисфи шумораи намунаҳои сигнали дискретӣ баробар аст. Яъне, агар дар намуна N намунаҳо бошанд, шумораи гармоникаҳо дар спектр N/2 хоҳад буд.

Ҳоло табдили дискретии Фурье (DFT)-ро баррасӣ кунем.

Муқоисаи он бо сериёи Фурье

 

Чун ки мебинем, онҳо мувофиқат мекунанд, ғайр аз он ки вақт дар FFT дискретӣ аст ва шумораи гармоникаҳо то N/2, ки нисфи шумораи намунаҳо аст, маҳдуд аст.

Формулаҳои DFT бо тағйирёбандаҳои бутуни беченаки k, s навишта мешаванд, ки дар он k шумораи намунаҳои сигнал ва s шумораи компонентҳои спектрӣ аст.
Қимати s шумораи лаппишҳои пурраи гармоникӣ дар давраи T (давомнокии ченкунии сигнал)-ро нишон медиҳад. Табдили дискретии Фурье барои ёфтани амплитудаҳо ва фазаҳои гармоникаҳо бо роҳи ададӣ, яъне “дар компютер” истифода мешавад.

Чун ки пештар гуфта шуд, ҳангоми таҷзияи функсияи ғайридавравӣ (сигнали мо) ба сериёи Фурье, сериёи Фурьеи ҳосилшуда дар асл ба функсияи давравӣ бо давраи T мувофиқат мекунад (Расми 12).

 

 

Чун ки аз расми 12 дида мешавад, функсияи f(x) бо давраи T0 давравӣ аст. Аммо, аз сабаби он ки дарозии намунаи ченкунӣ T ба давраи функсия T0 баробар нест, функсияе, ки ҳамчун сериёи Фурье ҳосил шудааст, дар нуқтаи T нопайвастагӣ дорад. Дар натиҷа, спектри ин функсия шумораи зиёди гармоникаҳои басомади баландро дар бар мегирад. Ин падида ҳамчун ихроҷи спектралӣ маълум аст ва дар амал он бо равзанагузорӣ сигнал пеш аз табдил кам карда мешавад. Агар давомнокии намунаи ченкунӣ T бо давраи функсия T0 мувофиқат мекард, он гоҳ спектри ҳосилшуда пас аз табдили Фурье танҳо гармоникаи аввалро (синусоида бо даврае, ки ба давомнокии намуна баробар аст) дар бар мегирифт, зеро функсияи f(x) синусоида аст.

Бо ибораи дигар, барномаи DFT “намедонад”, ки сигнали мо “қисме аз мавҷи синусӣ” аст, балки кӯшиш мекунад, ки функсияи даврӣ, ки аз сабаби нопайвастагии қисмҳои ҷудогонаи мавҷи синусӣ нопайвастагӣ дорад, ҳамчун қатор ифода кунад.

Дар натиҷа, гармоникаҳо дар спектр пайдо мешаванд, ки бояд дар маҷмӯъ шакли функсияро, аз ҷумла ин нопайвастагиро, ифода кунанд.

Пас, барои гирифтани спектри “дуруст”-и сигнал, ки ҷамъи чанд синусоид бо давраҳои гуногун аст, зарур аст, ки шумораи бутуни давраҳои ҳар як синусоид дар давраи ченкунии сигнал мавҷуд бошад. Дар амал, ин шартро метавон бо давомнокии кофӣ дароз ченкунии сигнал иҷро кард.

 

 

Дар давомнокии кӯтоҳтар тасвир “бадтар” хоҳад буд:

 

 

 

 

Дар амал, фаҳмидани он, ки кадом “компонентҳои воқеӣ” ва кадом “артефактҳо” аз сабаби номувофиқии давраҳои компонентҳо ва давомнокии намунагирии сигнал ё “паҳлӯҳо ва шикастҳо” дар шакли мавҷ ба вуҷуд омадаанд, душвор метавонад бошад. Албатта, калимаҳои “компонентҳои воқеӣ” ва “артефактҳо” бо сабаб дар қавс гирифта шудаанд. Мавҷудияти гармоникаҳои зиёд дар графики спектр маънои онро надорад, ки сигнали мо дар асл аз онҳо иборат аст. Ин мисли фикр кардан аст, ки рақами 7 аз рақамҳои 3 ва 4 “иборат аст”. Рақами 7-ро метавон ҳамчун ҷамъи 3 ва 4 тасаввур кард – ин дуруст аст.

Пас, сигнали мо… ё беҳтараш на “сигнали мо”, балки функсияи даврӣ, ки аз такрори сигнали мо (намуна) таркиб ёфтааст, метавонад ҳамчун ҷамъи гармоникаҳо (мавҷҳои синусӣ) бо амплитуда ва фазаҳои муайян ифода шавад. Аммо дар бисёр ҳолатҳои муҳим барои амалӣ (ба тасвирҳои боло нигаред) воқеан имконпазир аст, ки гармоникаҳои дар спектр ба даст овардаро низ ба равандҳои воқеие, ки хусусияти даврӣ доранд ва ба шакли сигнал таъсири назаррас мерасонанд, вобаста кард.

Баъзе натиҷаҳо

1. Сигнали воқеии ченшуда бо давомнокии T сония, ки тавассути ADC рақамикунонӣ шудааст, яъне бо маҷмӯи намунаҳои дискретӣ (N дона) ифода шудааст, спектри дискретии ғайридаврӣ дорад, ки бо маҷмӯи гармоникаҳо (N/2 дона) ифода мешавад.

2. Сигнал бо маҷмӯи қиматҳои воқеӣ ифода мешавад. Спектри DFT-и он маҷмӯи коэффитсиентҳои мураккаб бо симметрияи ҳамроҳ аст; аз онҳо спектри амплитуда ҳосил мешавад – маҷмӯи амплитудаҳои воқеии ғайриманфӣ (ва фазаҳо) дар басомадҳои мусбат ва айнан ин спектри амплитудаи якҷониба дар амалӣ кашида мешавад. Шакли мураккаби дуҷониба бо басомадҳои манфӣ ва шакли амплитуда/фазаи якҷониба ифодаҳои эквивалентии як спектр мебошанд – барои таҳлили сигнал одатан кор бо спектри амплитудаи якҷониба қулайтар аст.

3. Сигнали дар вақти T ченшуда танҳо дар вақти T муайян карда мешавад. Он чизе, ки пеш аз оғози ченкунии сигнал рух додааст ва он чизе, ки пас аз он рух медиҳад, барои илм номаълум аст. Ва дар ҳолати мо ин ҷолиб нест. FFT-и сигнали маҳдудшудаи вақт спектри “воқеӣ”-и онро медиҳад, дар маънои он ки дар зери шароити муайян имкон медиҳад, ки амплитуда ва басомади компонентҳои он ҳисоб карда шаванд.