Ֆուրիեի ձևափոխության կիրառումը տատանումների ազդանշանների վերլուծության մեջ

Andrei Shelkovenko։ Vibromera-ի մշակողներից և հիմնադիրներից մեկը։
Հոդվածի թարգմանությունը կարող է պարունակել անճշտություններ։

Ֆուրիեի ձևափոխություն և ազդանշանի սպեկտր

Բազմաթիվ դեպքերում սպեկտր ստանալու (հաշվարկելու) խնդիրը հետևյալն է։ Կա անալոգ-թվային փոխարկիչ (ADC), որը հաճախություն Fd դիսկրետացման հաճախությամբ անընդհատ ազդանշանը, որը T ժամանակահատվածում մուտք է գործում դրա մուտք, վերածում է թվային նմուշների – N հատուկ։ Այնուհետև այս նմուշների զանգվածը մուտքագրվում է որևէ ծրագրի մեջ (օրինակ FourierScope), որը տալիս է N/2 որոշ թվային արժեքներ։

Ծրագրի ճիշտ աշխատանքը ստուգելու համար մենք կազմում ենք նմուշների զանգված՝ որպես երկու sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) գումար, և մուտքագրում այն ծրագրի մեջ։ Ծրագիրը նկարել է հետևյալը.

 

 

Կան երկու հարմոնիկներ սպեկտրի գրաֆիկի վրա – 5 Հց՝ 0.5 Վ ամպլիտուդով և 10 Հց՝ 1 Վ ամպլիտուդով, ամեն ինչ այնպիսին է, ինչպես սկզբնական ազդանշանի բանաձևում։ Ամեն ինչ կարգին է, ծրագիրը ճիշտ է աշխատում։

Սա նշանակում է, որ եթե մենք ADC-ի մուտք մուտքագրենք երկու սինուսոիդների խառնուրդից բաղկացած իրական ազդանշան, մենք կստանանք նմանատիպ սպեկտր, որը բաղկացած է երկու հարմոնիկայից։

Այսպիսով, մեր իրական չափված ազդանշանը 5 վրկ տևողությամբ, ADC-ով դիսկրետացված, այսինքն՝ ներկայացված դիսկրետ նմուշներով, ունի դիսկրետ ոչ պարբերական հաճախությունների սպեկտր:
Մաթեմատիկական տեսանկյունից – քանի՞ սխալ կա այս արտահայտության մեջ.

Այժմ փորձենք չափել նույն ազդանշանը 0.5 վրկ ընթացքում։

 

 

Այստեղ ինչ-որ բան սխալ է։ 10 Հց հաճախության հարմոնիկան նորմալ է նկարված, իսկ 5 Հց հաճախության հարմոնիկայի փոխարեն կան որոշ անորոշ հարմոնիկաներ։

Ինտերնետում ասում են, որ անհրաժեշտ է նմուշի վերջին ավելացնել զրոներ, և սպեկտրը նորմալ կնկարվի։

 

 

Դա բնավ էլ այդպես չէ։ Ես ստիպված կլինեմ զբաղվել տեսությամբ։ Եկեք գնանք Wikipedia – գիտելիքի աղբյուր։

Անընդհատ ֆունկցիա և դրա Ֆուրիեի շարքով ներկայացումը

Մաթեմատիկորեն մեր T վայրկյան տևողությամբ ազդանշանը որևէ f(x) ֆունկցիա է, որը տրված է {0, T} միջակայքում (X-ը այս դեպքում ժամանակն է)։ Նման ֆունկցիան միշտ կարելի է ներկայացնել որպես հարմոնիկ ֆունկցիաների (սինուս կամ կոսինուս) գումար հետևյալ տեսքով.

k-ն եռանկյունաչափական ֆունկցիայի համարն է (հարմոնիկ բաղադրիչի համարը, հարմոնիկայի համարը)
T – հատված, որտեղ սահմանված է ֆունկցիան (ազդանշանի տևողությունը)
Ak- k-րդ հարմոնիկ բաղադրիչի ամպլիտուդը,
θk- k-րդ հարմոնիկ բաղադրիչի սկզբնական փուլը
Ի՞նչ է նշանակում «ֆունկցիան ներկայացնել որպես շարքի գումար»։ Սա նշանակում է, որ Ֆուրիեի շարքի հարմոնիկ բաղադրիչների արժեքները յուրաքանչյուր կետում գումարելիս, մենք ստանում ենք մեր ֆունկցիայի արժեքը այդ կետում։
(Ավելի խիստ՝ շարքի միջին քառակուսային շեղումը f(x) ֆունկցիայից կտենդանցի զրոյի, բայց միջին քառակուսային զուգամիտության դեպքում ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը, ընդհանուր առմամբ, պարտադիր չէ, որ կետ առ կետ զուգամիտի դրան։)
Այս շարքը կարելի է գրել նաև հետևյալ տեսքով.

 

 

 

որտեղ  k-րդ կոմպլեքս ամպլիտուդը։

 

կամ

 

 

 

(1) և (3) գործակիցների միջև կապը արտահայտվում է հետևյալ բանաձևերով.

 

 

 

 

Նկատի ունեցեք, որ Ֆուրիեի շարքի այս երեք ներկայացումները լիովին համարժեք են։ Երբեմն Ֆուրիեի շարքերով աշխատելիս ավելի հարմար է օգտագործել կեղծ արգումենտի աստիճանները սինուսների և կոսինուսների փոխարեն, այսինքն՝ օգտագործել Ֆուրիեի ձևափոխությունը կոմպլեքս տեսքով։ Բայց մեզ համար հարմար է օգտագործել (1) բանաձևը, որտեղ Ֆուրիեի շարքը ներկայացված է որպես համապատասխան ամպլիտուդներով և փուլերով կոսինուսների գումար։ Ճիշտ ասած, իրական ազդանշանի Ֆուրիեի ձևափոխությունը իսկապես տալիս է կոմպլեքս գործակիցներ (3-րդ տեսք)։ Յուրաքանչյուր գործակից կրում է իր հարմոնիկայի ամպլիտուդը և փուլը։ Իրական ազդանշանի համար այս կոմպլեքս գործակիցները ունեն կոնյուգատ (Էրմիտյան) համաչափություն՝ բացասական հաճախականությունների կեսը պարզապես հայելային կրկնում է դրական հաճախականությունների կեսը և չի պարունակում լրացուցիչ տեղեկատվություն։ Այդ պատճառով կոմպլեքս գործակիցներից մենք միշտ կարող ենք անցնել (1) բանաձևի իրական ոչ բացասական ամպլիտուդներին Ak և փուլերին θk, և հենց այս ամպլիտուդային սպեկտրն է, որը վերլուծական ծրագրերը կառուցում են։

 

Հիմնական եզրակացություն.
Սիգնալների սպեկտրալ վերլուծության մաթեմատիկական հիմքը Ֆուրիեի ձևափոխությունն է:

Ֆուրիեի ձևափոխությունը թույլ է տալիս {0, T} միջակայքում սահմանված անընդհատ f(x) ֆունկցիան (սիգնալը) ներկայացնել որոշակի ամպլիտուդներով և ֆազերով անվերջ թվով (անվերջ շարք) եռանկյունաչափական ֆունկցիաների (սինուս և/կամ կոսինուս) գումարի տեսքով, որոնք նույնպես դիտարկվում են {0, T} միջակայքում: Նման շարքը կոչվում է Ֆուրիեի շարք:

Նկատի ունեցեք ևս մի քանի կետեր, որոնց հասկացումը անհրաժեշտ է Ֆուրիեի ձևափոխությունը սիգնալի վերլուծությանը ճիշտ կիրառելու համար: Եթե մենք դիտարկենք Ֆուրիեի շարքը (սինուսոիդների գումարը) ամբողջ X առանցքի վրա, ապա կտեսնենք, որ {0, T} միջակայքից դուրս Ֆուրիեի շարքի ֆունկցիան պարբերաբար կկրկնի մեր ֆունկցիան:

Օրինակ, 7-րդ պատկերի գրաֆիկում սկզբնական ֆունկցիան սահմանված է {-T\2, +T\2} միջակայքում, իսկ Ֆուրիեի շարքը ներկայացնում է պարբերական ֆունկցիա, որը սահմանված է ամբողջ x առանցքի վրա:

Սա պայմանավորված է նրանով, որ սինուսոիդներն իրենք պարբերական ֆունկցիաներ են, ուստի դրանց գումարը նույնպես կլինի պարբերական ֆունկցիա:

Այսպիսով՝

Մեր սկզբնական ֆունկցիան անընդհատ, ոչ պարբերական ֆունկցիա է, որը սահմանված է T երկարությամբ որոշակի հատվածի վրա:
Այս ֆունկցիայի սպեկտրը դիսկրետ է, այսինքն՝ այն ներկայացված է որպես հարմոնիկ բաղադրիչների անվերջ շարք – Ֆուրիեի շարք:
Իրականում Ֆուրիեի շարքը սահմանում է որոշակի պարբերական ֆունկցիա, որը համընկնում է մեր ֆունկցիայի հետ {0, T} միջակայքում, բայց մեզ համար այս պարբերականությունը էական չէ:

Հաջորդը:

Հարմոնիկ բաղադրիչների պարբերությունները {0, T} միջակայքի բազմապատիկներն են, որի վրա սահմանված է սկզբնական f(x) ֆունկցիան: Այլ կերպ ասած՝ հարմոնիկների պարբերությունները սիգնալի չափման տևողության բազմապատիկներն են: Օրինակ, Ֆուրիեի շարքում առաջին հարմոնիկի պարբերությունը հավասար է T միջակայքին, որի վրա սահմանված է f(x) ֆունկցիան: Ֆուրիեի շարքում երկրորդ հարմոնիկի պարբերությունը հավասար է T/2 միջակայքին: Եվ այլն (տես Պատկեր 8):

Համապատասխանաբար, հարմոնիկ բաղադրիչների հաճախությունները 1/T-ի բազմապատիկներն են: Այսինքն՝ հարմոնիկ բաղադրիչների Fk հաճախությունները Fk= k\T են, որտեղ k-ն ընդունում է 0-ից ∞ արժեքներ, օրինակ՝ k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T; …. Fk= k\T (զրոյական հաճախության դեպքում՝ հաստատուն բաղադրիչ):

Ենթադրենք, մեր սկզբնական ֆունկցիան T=1 վրկ ընթացքում գրանցված սիգնալ է: Այդ դեպքում առաջին հարմոնիկի պարբերությունը կլինի հավասար մեր սիգնալի T1=T=1 վրկ տևողությանը, իսկ հարմոնիկի հաճախությունը կլինի 1 Հց: Երկրորդ հարմոնիկի պարբերությունը կլինի հավասար մեր սիգնալի տևողությանը բաժանած 2-ի (T2=T/2=0.5 վրկ.) և հաճախությունը կլինի 2 Հց: Երրորդ հարմոնիկի համար՝ T3=T/3 վրկ, իսկ հաճախությունը՝ 3 Հց: Եվ այլն:

Այս դեպքում հարմոնիկների միջև քայլը 1 Հց է:

Այսպիսով, 1 վրկ տևողությամբ սիգնալը կարելի է վերլուծել հարմոնիկ բաղադրիչների (սպեկտր ստանալու համար) 1 Հց հաճախականային լուծաչափով:
Լուծաչափը 2 անգամ մեծացնելու համար՝ մինչև 0.5 Հց, անհրաժեշտ է չափման տևողությունը 2 անգամ մեծացնել՝ մինչև 2 վրկ: 10-վայրկյանանոց սիգնալը կարելի է վերլուծել հարմոնիկ բաղադրիչների (սպեկտր) 0.1 Հց հաճախականային լուծաչափով: Հաճախականային լուծաչափը մեծացնելու այլ եղանակներ չկան: Կարող եք ուսումնասիրել այս կապը մեր FFT լուծունակության հաշվիչ.

Կա սիգնալի տևողությունը արհեստականորեն մեծացնելու եղանակ՝ նմուշների զանգվածին զրոեր ավելացնելով: Բայց դա իրական հաճախականային լուծաչափը չի մեծացնում:

Դիսկրետ սիգնալներ և դիսկրետ Ֆուրիեի ձևափոխություն

Թվային տեխնոլոգիաների զարգացմանը զուգընթաց փոխվել են չափման տվյալների (սիգնալների) պահպանման եղանակները: Եթե նախկինում սիգնալը կարելի էր գրանցել մագնիտոֆոնով և պահել ժապավենի վրա անալոգային տեսքով, ապա հիմա սիգնալները թվայնացվում և պահվում են ֆայլերում համակարգչի հիշողության մեջ որպես թվերի (հաշվարկների) հավաքածու:

Սիգնալի չափման և թվայնացման սովորական սխեման հետևյալն է.

Չափիչ փոխակերպիչ —- Սիգնալի նորմալիզատոր —- ԱԹՓ —– Համակարգիչ
(Պատկ.9. Չափիչ ալիքի սխեմատիկ պատկերը)

Չափիչ փոխակերպիչից սիգնալը T ժամանակահատվածում փոխանցվում է ԱԹՓ-ին: T ժամանակահատվածում ստացված սիգնալի ընթերցումները (նմուշառումները) փոխանցվում են համակարգիչ և պահվում հիշողության մեջ:

Ի՞նչ պահանջներ կան սիգնալի թվայնացման պարամետրերի նկատմամբ: Մուտքային անալոգային սիգնալը դիսկրետ կոդի (թվային սիգնալի) վերածող սարքը կոչվում է անալոգ-թվային փոխակերպիչ (ԱԹՓ) (© Wiki):

ԱԹՓ-ի հիմնական պարամետրերից մեկը առավելագույն նմուշառման հաճախությունն է – ժամանակի առումով անընդհատ սիգնալի նմուշառման հաճախությունը: Նմուշառման հաճախությունը չափվում է հերցերով: ((© Wiki))

Կոտելնիկովի թեորեմի համաձայն՝ եթե անընդհատ սիգնալն ունի Fmax հաճախությամբ սահմանափակված սպեկտր, ապա այն կարելի է ամբողջությամբ և միանշանակ վերականգնել դրա Δt ≤ 1/(2*Fmax) ժամանակային միջակայքերով վերցված դիսկրետ նմուշներից, այսինքն՝ Fd ≥ 2*Fmax նմուշառման հաճախությամբ, որտեղ Fd – նմուշառման հաճախություն; Fmax – սիգնալի սպեկտրի առավելագույն հաճախություն: Այլ կերպ ասած՝ սիգնալի թվայնացման հաճախությունը (ԱԹՓ-ի նմուշառման հաճախությունը) պետք է առնվազն երկու անգամ գերազանցի չափելու ցանկացած սիգնալի առավելագույն հաճախությունը:

Իսկ ի՞նչ կտեղի, եթե նմուշներ վերցնենք Կոտելնիկովի թեորեմով պահանջվողից ցածր հաճախությամբ:

Այս դեպքում առաջանում է “ալիասինգ” էֆեկտ (հայտնի է նաև որպես ստրոբոսկոպիկ էֆեկտ, մուարի էֆեկտ), որի դեպքում բարձր հաճախությամբ սիգնալը թվայնացումից հետո վերածվում է ցածր հաճախությամբ սիգնալի, որը իրականում գոյություն չունի: 11-րդ պատկերում բարձր հաճախությամբ կարմիր սինուսոիդը իրական սիգնալն է: Ցածր հաճախությամբ կապույտ սինուսոիդը կեղծ սիգնալ է, որը առաջանում է նրա պատճառով, որ նմուշառման ընթացքում հասցնում է անցնել բարձր հաճախությամբ սիգնալի կեսից ավելի պարբերություն:

 

Ալիասինգի էֆեկտից խուսափելու համար ԱԹՓ-ից առաջ տեղադրվում է հատուկ հակաալիասինգային ֆիլտր (ցածր հաճախությունների ֆիլտր) որն անցկացնում է ԱԹՓ-ի նմուշառման հաճախության կեսից ցածր հաճախությունները և կտրում ավելի բարձր հաճախությունները:

Սիգնալի սպեկտրը դրա դիսկրետ նմուշների հիման վրա հաշվարկելու համար օգտագործվում է դիսկրետ Ֆուրիեի ձևափոխություն (ԴՖՁ) ): Կրկին նկատի ունեցեք, որ դիսկրետ սիգնալի սպեկտրը «նախապես» սահմանափակված է Fmax հաճախությամբ, որը փոքր է նմուշառման Fd հաճախության կեսից: Հետևաբար, դիսկրետ սիգնալի սպեկտրը կարելի է ներկայացնել վերջավոր թվով հարմոնիկների գումարով, ի տարբերություն անընդհատ սիգնալի Ֆուրիեի շարքի անվերջ գումարի, որի սպեկտրը կարող է անսահմանափակ լինել: Կոտելնիկովի թեորեմի համաձայն՝ հարմոնիկի առավելագույն հաճախությունը պետք է այնպիսին լինի, որ այն հաշվի առնի առնվազն երկու նմուշ, ուստի հարմոնիկների թիվը հավասար է դիսկրետ սիգնալի նմուշների թվի կեսին: Այսինքն՝ եթե նմուշում կա N նմուշ, ապա սպեկտրում հարմոնիկների թիվը կլինի N/2:

Դիտարկենք հիմա դիսկրետ Ֆուրիեի ձևափոխությունը (ԴՖՁ):

Համեմատելով այն Ֆուրիեի շարքի հետ

 

Ինչպես տեսնում ենք, դրանք համընկնում են, բացառությամբ այն փաստի, որ FFT-ում ժամանակը դիսկրետ է, իսկ հարմոնիկների թիվը սահմանափակված է N/2-ով, որը նմուշների թվի կեսն է:

ԴՖՁ բանաձևերը գրված են չափողականություն չունեցող ամբողջ թվային k, s փոփոխականներով, որտեղ k-ն սիգնալի նմուշների թիվն է, s-ը՝ սպեկտրալ բաղադրիչների թիվը:
s արժեքը ցույց է տալիս T պարբերության (սիգնալի չափման տևողության) ընթացքում լիարժեք հարմոնիկ տատանումների թիվը: Դիսկրետ Ֆուրիեի ձևափոխությունը օգտագործվում է հարմոնիկների ամպլիտուդները և ֆազերը թվային եղանակով գտնելու համար, այսինքն՝ «համակարգչով»:

Ինչպես արդեն նշվեց վերևում, ոչ պարբերական ֆունկցիան (մեր սիգնալը) Ֆուրիեի շարքի վերլուծելիս ստացված Ֆուրիեի շարքը իրականում համապատասխանում է T պարբերությամբ պարբերական ֆունկցիային (Պատկ.12):

 

 

Ինչպես երևում է 12-րդ պատկերից, f(x) ֆունկցիան պարբերական է T0 պարբերությամբ: Սակայն, չափիչ նմուշի T երկարության և ֆունկցիայի T0 պարբերության համընկնելու պատճառով, Ֆուրիեի շարքի տեսքով ստացված ֆունկցիան T կետում ունի ընդհատում: Արդյունքում, այս ֆունկցիայի սպեկտրը կպարունակի բարձր հաճախությամբ հարմոնիկների մեծ քանակ: Այս երևույթը հայտնի է սպեկտրալ թափանցում, և գործնականում այն նվազեցվում է պատուհանավորում ձևափոխությունից առաջ: Եթե չափիչ նմուշի T տևողությունը համընկներ ֆունկցիայի T0 պարբերության հետ, ապա Ֆուրիեի ձևափոխությունից հետո ստացված սպեկտրը կպարունակեր միայն առաջին հարմոնիկը (պարբերությամբ նմուշի տևողությանը հավասար սինուսոիդ), քանի որ f(x) ֆունկցիան սինուսոիդ է:

Այլ կերպ ասած՝ ԴՖՏ (DFT) ծրագիրը «չգիտի», որ մեր ազդանշանը «սինուսոիդի կտոր» է, այլ փորձում է շարքի տեսքով ներկայացնել պարբերական ֆունկցիա, որն ունի ընդհատում սինուսոիդի առանձին կտորների ընդհատման պատճառով:

Արդյունքում սպեկտրում հայտնվում են հարմոնիկներ, որոնք, ընդհանուր առմամբ, պետք է ներկայացնեն ֆունկցիայի ձևը՝ ներառյալ այս ընդհատումը:

Այսպիսով, մի քանի տարբեր պարբերություններ ունեցող սինուսոիդների գումարից բաղկացած ազդանշանի «ճիշտ» սպեկտր ստանալու համար անհրաժեշտ է, որ յուրաքանչյուր սինուսոիդի ամբողջ թվով պարբերություններ լինեն ազդանշանի չափման ժամանակահատվածում: Գործնականում այս պայմանը կարելի է բավարարել ազդանշանի չափման բավականաչափ երկար տևողությամբ:

 

 

Ավելի կարճ տևողության դեպքում պատկերը կլինի «ավելի վատ».

 

 

 

 

Գործնականում դժվար է հասկանալ, թե որտեղ են «իրական բաղադրիչները», և որտեղ՝ բաղադրիչների պարբերությունների և ազդանշանի ընտրանքի տևողությունների անհամապատասխանությունից կամ ազդանշանի ալիքաձևում «ցատկերի և ընդհատումների» պատճառով առաջացած «արտեֆակտները»: Իհարկե, «իրական բաղադրիչներ» և «արտեֆակտներ» բառերը դրված են չակերտների մեջ ոչ թե պատահականորեն: Սպեկտրի գրաֆիկում բազմաթիվ հարմոնիկների առկայությունը չի նշանակում, որ մեր ազդանշանը իրականում բաղկացած է դրանցից: Սա նման է այն մտքին, թե 7 թիվը «բաղկացած է» 3 և 4 թվերից: 7 թիվը կարելի է դիտարկել որպես 3 և 4-ի գումար՝ դա ճիշտ է:

Այսպես էլ մեր ազդանշանը... կամ ավելի ճիշտ՝ ոչ թե «մեր ազդանշանը», այլ մեր ազդանշանի (ընտրանքի) կրկնությամբ կազմված պարբերական ֆունկցիան կարելի է ներկայացնել որպես հարմոնիկների (սինուսոիդների) գումար՝ որոշակի ամպլիտուդներով և ֆազերով: Բայց գործնական համար կարևոր շատ դեպքերում (տե՛ս վերևի պատկերները) իսկապես հնարավոր է սպեկտրում ստացված հարմոնիկները կապել նաև իրական, ցիկլիկ բնույթ ունեցող գործընթացների հետ, որոնք էականորեն նպաստում են ազդանշանի ձևավորմանը:

Որոշ արդյունքներ

1. Իրական չափված ազդանշանը՝ T վրկ տևողությամբ, թվայնացված է ԱԹՓ-ով (ADC), այսինքն՝ ներկայացված է դիսկրետ ընտրանքների (N հատ) բազմությամբ, ունի դիսկրետ ոչ պարբերական սպեկտր, որը ներկայացված է հարմոնիկների (N/2 հատ) բազմությամբ:

2. Ազդանշանը ներկայացված է իրական արժեքների բազմությամբ: Դրա ԴՖՏ (DFT) սպեկտրը կոմպլեքս գործակիցների բազմություն է՝ զուգակցված համաչափությամբ: Դրանցից ստացվում է ամպլիտուդային սպեկտրը՝ դրական հաճախությունների դեպքում իրական ոչ բացասական ամպլիտուդների (և ֆազերի) բազմություն, և հենց այս միակողմանի ամպլիտուդային սպեկտրն է գծվում գործնականում: Բիկողմանի կոմպլեքս տեսքը՝ բացասական հաճախություններով, և միակողմանի ամպլիտուդային/ֆազային տեսքը նույն սպեկտրի համարժեք ներկայացումներն են՝ ազդանշանի վերլուծության համար սովորաբար ավելի հարմար է աշխատել միակողմանի ամպլիտուդային սպեկտրի հետ:

3. T ժամանակում չափված ազդանշանը որոշված է միայն T ժամանակահատվածում: Ինչ է տեղի ունեցել մինչև ազդանշանի չափումը սկսելը և ինչ կլինի դրանից հետո, գիտության համար անհայտ է: Իսկ մեր դեպքում դա հետաքրքիր չէ: Ժամանակահատվածով սահմանափակված ազդանշանի ԱՖՏ (FFT)-ն տալիս է դրա «իրական» սպեկտրը՝ այն իմաստով, որ որոշակի պայմաններում այն թույլ է տալիս հաշվարկել դրա բաղադրիչների ամպլիտուդը և հաճախությունը: