Примена на Фуриеовата трансформација во анализата на вибрациските сигнали

Андреј Шелковенко. Еден од развивачите и основач на Vibromera.
Преводот на статијата може да содржи неточности.

Фуриеова трансформација и спектар на сигналот

Во многу случаи задачата за добивање (пресметување) на спектар на сигналот е следнава. Постои АДП, кој со зачестеност на семплирање фреквенција Fd го трансформира континуираниот сигнал, кој доаѓа на неговиот влез во текот на времето T, во дигитални семпли – N парчиња. Потоа оваа низа од семпли се предава на некоја програма (на пример FourierScope) која дава N/2 некои нумерички вредности.

За да провериме дали програмата работи правилно, формираме низа од семпли како збир од две sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) и ја внесуваме во програмата. Програмата го исцрта следново:

 

 

Има две хармоници на графикот на спектарот – 5 Hz со амплитуда од 0,5 V и 10 Hz со амплитуда од 1 V, сè е како во формулата на оригиналниот сигнал. Сè е во ред, програмата работи правилно.

Ова значи дека ако на влезот на АДП внесеме реален сигнал од мешавина на две синусоиди, ќе добиеме сличен спектар што се состои од две хармоници.

Значи, нашиот реален измерен сигнал со траење од 5 сек, дигитализиран со АДП, т.е. претставен со дискретни семпли, има дискретен непериодичен спектар.
Од математичка гледна точка – колку грешки има во оваа фраза?

Сега да се обидеме да го измериме истиот сигнал во текот на 0,5 сек.

 

 

Тука нешто не е во ред! Хармоникот на 10 Hz е исцртан нормално, а наместо хармоникот на 5 Hz има некои нејасни хармоници.

На интернет велат дека е потребно да се додадат нули на крајот од семплот и спектарот ќе се исцрта нормално.

 

 

Тоа воопшто не е тоа. Ќе морам да се позанимавам со теоријата. Да отидеме на википедија – изворот на знаење.

Континуирана функција и нејзиното претставување со Фуриеов ред

Математички, нашиот сигнал со траење од T секунди е некоја функција f(x) зададена на интервалот {0, T} (X во овој случај е времето). Таквата функција секогаш може да се претстави како збир од хармониски функции (синус или косинус) од обликот:

k е бројот на тригонометриската функција (бројот на хармониската компонента, бројот на хармоникот)
T – отсечката на која е дефинирана функцијата (траењето на сигналот)
Ak- амплитуда на k-тата хармониска компонента,
θk- почетната фаза на k-тата хармониска компонента
Што значи да се “претстави функцијата како збир од редот”? Значи дека собирајќи ги вредностите на хармониските компоненти на Фуриеовиот ред во секоја точка, ја добиваме вредноста на нашата функција во таа точка.
(Построго, средноквадратното отстапување на редот од функцијата f(x) ќе тежнее кон нула, но и покрај средноквадратната конвергенција, Фуриеовиот ред на една функција не мора, општо земено, да конвергира кон неа точка по точка. )
Овој ред може да се запише и во обликот:

 

 

 

каде што , k-тата комплексна амплитуда.

 

или

 

 

 

Врската меѓу коефициентите (1) и (3) се изразува со следниве формули:

 

 

 

 

Забележете дека сите овие три претставувања на Фуриеовиот ред се сосема еквивалентни. Понекогаш при работа со Фуриеови редови, поудобно е да се користат експоненти со имагинарен аргумент наместо синуси и косинуси, т.е. да се користи Фуриеова трансформација во комплексна форма. Но нам ни е удобно да ја користиме формулата (1), каде што Фуриеовиот ред е претставен како збир од косинуси со соодветни амплитуди и фази. Строго земено, Фуриеовата трансформација на реален сигнал навистина дава комплексни коефициенти (форма (3)): секој коефициент ги носи и амплитудата и фазата на својот хармоник. За реален сигнал овие комплексни коефициенти имаат конјугирана (Ермитска) симетрија — половината со негативна фреквенција едноставно ја отсликува половината со позитивна фреквенција и не носи дополнителна информација. Затоа, од комплексните коефициенти секогаш можеме да преминеме на реалните ненегативни амплитуди Ak и фази θk од формулата (1) — и токму овој амплитуден спектар го исцртуваат програмите за анализа.

 

Заклучок:
Математичката основа за спектрална анализа на сигналите е Фуриеовата трансформација.

Фуриеовата трансформација овозможува континуирана функција f(x) (сигнал) дефинирана на интервалот {0, T} да се претстави како збир на бесконечен број (бесконечен ред) тригонометриски функции (синус и/или косинус) со определени амплитуди и фази, исто така разгледувани на интервалот {0, T}. Таквиот ред се нарекува Фуриеов ред.

Да забележиме уште неколку моменти, чие разбирање е потребно за правилна примена на Фуриеовата трансформација во анализата на сигнали. Ако го разгледаме Фуриеовиот ред (збир на синусоиди) на целата X-оска, ќе видиме дека надвор од интервалот {0, T} функцијата на Фуриеовиот ред периодично ќе ја повторува нашата функција.

На пример, на графикот на Сл. 7, изворната функција е дефинирана на интервалот {-T\2, +T\2}, а Фуриеовиот ред претставува периодична функција дефинирана на целата x-оска.

Ова е затоа што самите синусоиди се периодични функции, па и нивниот збир исто така ќе биде периодична функција.

Така:

Нашата изворна функција е континуирана, непериодична функција дефинирана на некоја отсечка со должина T.
Спектарот на оваа функција е дискретен, т.е. се претставува како бесконечен ред на хармониски компоненти – Фуриеов ред.
Всушност, Фуриеовиот ред дефинира некоја периодична функција, која се совпаѓа со нашата функција на интервалот {0, T}, но за нас таа периодичност не е суштинска.

Понатаму.

Периодите на хармониските компоненти се множители на интервалот {0, T}, на кој е дефинирана почетната функција f(x). Со други зборови, периодите на хармониците се множители на времетраењето на мерењето на сигналот. На пример, периодот на првиот хармоник во Фуриеовиот ред е еднаков на интервалот T на кој е дефинирана функцијата f(x). Периодот на вториот хармоник во Фуриеовиот ред е еднаков на интервалот T/2. И така натаму (види Слика 8).

Соодветно, фреквенциите на хармониските компоненти се множители на 1/T. Односно, фреквенциите на хармониските компоненти Fk се Fk= k\T, каде што k зема вредности од 0 до ∞, на пример, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T;k=3 F3=3\T;…. Fk= k\T (при нулта фреквенција, константна компонента).

Нека нашата почетна функција е сигнал снимен во текот на T=1 сек. Тогаш периодот на првиот хармоник ќе биде еднаков на времетраењето на нашиот сигнал T1=T=1 сек, а фреквенцијата на хармоникот е еднаква на 1 Hz. Периодот на вториот хармоник ќе биде еднаков на времетраењето на нашиот сигнал поделено со 2 (T2=T/2=0.5 сек.), а фреквенцијата е еднаква на 2 Hz. За третиот хармоник, T3=T/3 сек и фреквенцијата е 3 Hz. И така натаму.

Чекорот меѓу хармониците во овој случај е 1 Hz.

Така, сигнал со времетраење од 1 сек може да се разложи на хармониски компоненти (за да се добие спектар) со фреквенциска резолуција од 1 Hz.
За да се зголеми резолуцијата 2 пати на 0.5 Hz, потребно е да се зголеми времетраењето на мерењето 2 пати на 2 сек. Сигнал од 10 секунди може да се разложи на хармониски компоненти (спектар) со фреквенциска резолуција од 0.1 Hz. Не постојат други начини за зголемување на фреквенциската резолуција. Оваа зависност можете да ја истражите со нашиот Калкулатор за FFT резолуција.

Постои начин вештачки да се зголеми времетраењето на сигналот со додавање нули на низата од отчитувања. Но тоа не ја зголемува реалната фреквенциска резолуција.

Дискретни сигнали и дискретна Фуриеова трансформација

Со развојот на дигиталната технологија се променија начините на складирање на мерните податоци (сигнали). Додека претходно сигналот можеше да се снима на магнетофон и да се складира на лента во аналогна форма, сега сигналите се дигитализираат и се складираат во датотеки во меморијата на компјутерот како множество броеви (отчитувања).

Вообичаената шема на мерење и дигитализација на сигналот изгледа вака.

Мерен претворувач —- Нормализатор на сигнал —- АДП —– Компјутер
(Сл.9 Шема на мерниот канал)

Сигналот од мерниот претворувач оди до АДП во текот на временски период T. Отчитувањата на сигналот (семплирање) добиени во текот на времето T се пренесуваат до компјутерот и се зачувуваат во меморијата.

Кои се барањата за параметрите на дигитализацијата на сигналот? Уред кој го претвора влезниот аналоген сигнал во дискретен код (дигитален сигнал) се нарекува аналогно-дигитален претворувач (АДП) (© Wiki).

Еден од основните параметри на АДП е максималната фреквенција на семплирање – фреквенцијата на земање отчитувања од сигнал кој е континуиран во времето. Фреквенцијата на семплирање се мери во херци. ((© Wiki))

Според теоремата на Котелников, ако континуиран сигнал има спектар ограничен со фреквенцијата Fmax, тој може целосно и еднозначно да се реконструира од своите дискретни отчитувања земени во временски интервали Δt ≤ 1/(2*Fmax), т.е. со фреквенција на семплирање Fd ≥ 2*Fmax, каде Fd – фреквенција на семплирање; Fmax – максималната фреквенција на спектарот на сигналот. Со други зборови, фреквенцијата на дигитализација на сигналот (фреквенција на семплирање на АДП) мора да биде најмалку двојно поголема од максималната фреквенција на сигналот што сакаме да го измериме.

А што ќе се случи ако земаме отчитувања со пониска фреквенција од онаа што ја бара теоремата на Котелников?

Во овој случај се јавува „алиасинг“ ефект (познат и како стробоскопски ефект, моаре ефект), при кој сигнал со висока фреквенција по дигитализацијата се претвора во сигнал со ниска фреквенција, кој всушност не постои. На Сл. 11 црвената синусоида со висока фреквенција е реалниот сигнал. Сината синусоида со пониска фреквенција е фиктивен сигнал, кој настанува поради тоа што во текот на времето на семплирање успева да помине повеќе од половина период од високофреквентниот сигнал.

 

За да се избегне aliasing ефектот, пред АДП се поставува специјален анти-алиас филтер (нископропусен филтер). Тој пропушта фреквенции пониски од половина од фреквенцијата на семплирање на АДП и ги отсекува повисоките фреквенции.

За да се пресмета спектарот на сигналот од неговите дискретни отчитувања, се користи дискретната Фуриеова трансформација (ДФТ) . Да забележиме повторно дека спектарот на дискретен сигнал е „по дефиниција“ ограничен на фреквенција Fmax помала од половина од фреквенцијата на семплирање Fd. Затоа, спектарот на дискретен сигнал може да се претстави со збир на конечен број хармоници, за разлика од бесконечниот збир за Фуриеовиот ред на континуиран сигнал, чиј спектар може да биде неограничен. Според теоремата на Котелников, максималната фреквенција на хармоникот мора да биде таква што на неа да отпаѓаат најмалку две отчитувања, па бројот на хармоници е еднаков на половина од бројот на отчитувања на дискретниот сигнал. Односно, ако во низата има N отчитувања, бројот на хармоници во спектарот ќе биде N/2.

Да ја разгледаме сега дискретната Фуриеова трансформација (ДФТ).

Споредувајќи ја со Фуриеовиот ред

 

Како што гледаме, тие се совпаѓаат, освен во тоа што времето во FFT е дискретно и бројот на хармоници е ограничен на N/2, што е половина од бројот на отчитувања.

Формулите на ДФТ се запишани во бездимензиски целобројни променливи k, s, каде k е бројот на отчитувањата на сигналот, s е бројот на спектралните компоненти.
Вредноста s го покажува бројот на полни хармониски осцилации во еден период T (времетраење на мерењето на сигналот). Дискретната Фуриеова трансформација се користи за нумеричко пронаоѓање на амплитудите и фазите на хармониците, т.е. „на компјутер“.

Како што веќе беше кажано погоре, при разложување на непериодична функција (нашиот сигнал) во Фуриеов ред, добиениот Фуриеов ред всушност одговара на периодична функција со период T (Сл.12).

 

 

Како што се гледа на Сл. 12, функцијата f(x) е периодична со период T0. Меѓутоа, поради тоа што должината на мерната низа T не е еднаква на периодот на функцијата T0, функцијата добиена како Фуриеов ред има прекин во точката T. Како резултат на тоа, спектарот на оваа функција ќе содржи голем број високофреквентни хармоници. Оваа појава е позната како спектрално истекување, и во практиката се намалува со прозорирање на сигналот пред трансформацијата. Ако времетраењето на мерната низа T се совпаѓаше со периодот на функцијата T0, тогаш спектарот добиен по Фуриеовата трансформација ќе содржеше само прв хармоник (синусоида со период еднаков на времетраењето на низата), бидејќи функцијата f(x) е синусоида.

Со други зборови, програмата за ДФТ „не знае“ дека нашиот сигнал е „парче од синусен бран“, туку се обидува да претстави како ред периодична функција која има прекин поради дисконтинуитетот на одделните парчиња од синусниот бран.

Како резултат, во спектарот се појавуваат хармоници, кои во збир треба да ја претстават формата на функцијата, вклучувајќи го и овој прекин.

Така, за да се добие „правилен“ спектар на сигнал што претставува збир од неколку синусоиди со различни периоди, потребно е цел број периоди на секоја синусоида да биде присутна во периодот на мерење на сигналот. Во практиката, овој услов може да се исполни со доволно долго траење на мерењето на сигналот.

 

 

При пократко траење сликата ќе изгледа „полошо“:

 

 

 

 

Во практиката, може да биде тешко да се разбере каде се „вистинските компоненти“, а каде „артефактите“ предизвикани од неусогласеноста на периодите на компонентите и траењата на семплирањето на сигналот или „скоковите и прекините“ во брановата форма. Секако, зборовите „вистински компоненти“ и „артефакти“ се ставени под наводници со причина. Присуството на многу хармоници на графикот на спектарот не значи дека нашиот сигнал навистина се состои од нив. Тоа е како да се мисли дека бројот 7 „се состои“ од броевите 3 и 4. Бројот 7 може да се сфати како збир од 3 и 4 – тоа е точно.

Така и нашиот сигнал… или поточно, дури не ни „нашиот сигнал“, туку периодичната функција составена со повторување на нашиот сигнал (семпл) може да се претстави како збир од хармоници (синусоидни бранови) со определени амплитуди и фази. Но, во многу случаи важни за практиката (види ги фигурите погоре) навистина е можно хармониците добиени во спектарот да се поврзат и со реални процеси што имаат цикличен карактер и значајно придонесуваат кон формата на сигналот.

Некои резултати

1. Реален измерен сигнал со траење од T сек., дигитализиран од АДК, т.е. претставен со множество дискретни семпли (N парчиња), има дискретен непериодичен спектар претставен со множество хармоници (N/2 парчиња).

2. Сигналот е претставен со множество реални вредности. Неговиот DFT-спектар е множество комплексни коефициенти со конјугирана симетрија; од нив се добива амплитудниот спектар — множество реални ненегативни амплитуди (и фази) на позитивните фреквенции, и токму овој едностран амплитуден спектар се исцртува во практиката. Двостраната комплексна форма со негативни фреквенции и едностраната амплитудно/фазна форма се еквивалентни претстави на истиот спектар — за анализа на сигнали обично е попогодно да се работи со едностраниот амплитуден спектар.

3. Сигналот измерен во времето T е определен само во времето T. Што се случувало пред да почнеме да го мериме сигналот и што ќе се случи потоа му е непознато на науката. А во нашиот случај не е ни интересно. FFT на временски ограничениот сигнал го дава неговиот „вистински“ спектар, во смисла што под определени услови овозможува да се пресметаат амплитудата и фреквенцијата на неговите компоненти.