Aplicación de la transformada de Fourier al análisis de señales de vibración

Andrei Shelkovenko. Uno de los desarrolladores y fundador de Vibromera.
La traducción del artículo puede contener inexactitudes.

Transformada de Fourier y espectro de la señal

En muchos casos, la tarea de obtener (calcular) el espectro de una señal es la siguiente. Existe un ADC, que con una frecuencia de muestreo frecuencia Fd transforma la señal continua, que llega a su entrada durante el tiempo T, en muestras digitales – N piezas. Luego, esta matriz de muestras se alimenta a algún programa (por ejemplo FourierScope) que genera N/2 valores numéricos.

Para verificar si el programa funciona correctamente, formamos una matriz de muestras como una suma de dos sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) y la alimentamos al programa. El programa dibujó lo siguiente:

 

 

Hay dos armónicos en la gráfica del espectro – 5 Hz con una amplitud de 0.5 V y 10 Hz con una amplitud de 1 V, todo es como en la fórmula de la señal original. Todo está bien, el programa funciona correctamente.

Esto significa que si alimentamos una señal real de una mezcla de dos sinusoides a la entrada del ADC, obtendremos un espectro similar que consiste en dos armónicos.

Entonces, nuestra señal real medida de 5 seg. de duración, digitalizada por el ADC, es decir, representada por muestras discretas , tiene un espectro discreto no periódico espectro.
Desde un punto de vista matemático – ¿cuántos errores hay en esta frase?

Ahora intentemos medir la misma señal durante 0.5 seg.

 

 

¡Algo está mal aquí! El armónico a 10 Hz se dibuja normalmente, y en lugar del armónico a 5 Hz hay algunos armónicos poco claros.

En Internet dicen que es necesario agregar ceros al final de la muestra y el espectro se dibujará normalmente.

 

 

Eso no es nada. Tendré que ocuparme de la teoría. Vamos a wikipedia – la fuente de conocimiento.

Función continua y su representación en serie de Fourier

Matemáticamente, nuestra señal con una duración de T segundos es alguna función f(x) dada en el intervalo {0, T} (X en este caso es el tiempo). Tal función siempre se puede representar como una suma de funciones armónicas (seno o coseno) de la forma:

k es el número de la función trigonométrica (el número del componente armónico, el número del armónico)
T – segmento donde la función está definida (la duración de la señal)
Ak- amplitud del k-ésimo componente armónico,
θk- la fase inicial del k-ésimo componente armónico
¿Qué significa «representar la función como la suma de la serie»? Significa que al sumar los valores de los componentes armónicos de la serie de Fourier en cada punto, obtenemos el valor de nuestra función en ese punto.
(Más estrictamente, la desviación cuadrática media de la serie respecto a la función f(x) tenderá a cero, pero a pesar de la convergencia en media cuadrática, la serie de Fourier de una función no necesariamente converge a ella punto por punto, en general. )
Esta serie también se puede escribir en la forma:

 

 

 

donde , la k-ésima amplitud compleja.

 

o

 

 

 

La relación entre los coeficientes (1) y (3) se expresa mediante las siguientes fórmulas:

 

 

 

 

Tenga en cuenta que todas estas tres representaciones de la serie de Fourier son perfectamente equivalentes. A veces, al trabajar con series de Fourier, es más conveniente usar exponentes de argumento imaginario en lugar de senos y cosenos, es decir, usar la transformada de Fourier en forma compleja. Pero es conveniente para nosotros usar la fórmula (1), donde la serie de Fourier está representada como una suma de cosenos con amplitudes y fases correspondientes. Estrictamente hablando, la transformada de Fourier de una señal real sí produce coeficientes complejos (forma (3)): cada coeficiente lleva tanto la amplitud como la fase de su armónico. Para una señal real, estos coeficientes complejos poseen simetría conjugada (hermitiana): la mitad de frecuencia negativa simplemente refleja la mitad de frecuencia positiva y no aporta información adicional. Es por eso que, a partir de los coeficientes complejos, siempre podemos pasar a las amplitudes reales no negativas Ak y las fases θk de la fórmula (1), y es exactamente este espectro de amplitud el que trazan los programas de análisis.

 

En resumen:
La base matemática para el análisis espectral de señales es la transformada de Fourier.

La transformada de Fourier permite representar una función continua f(x) (señal) definida en el intervalo {0, T} como una suma de un número infinito (serie infinita) de funciones trigonométricas (seno y/o coseno) con amplitudes y fases definidas, también consideradas en el intervalo {0, T}. A tal serie se le llama serie de Fourier.

Tenga en cuenta algunos puntos más, cuya comprensión es necesaria para la aplicación correcta de la transformada de Fourier al análisis de señales. Si consideramos la serie de Fourier (suma de sinusoides) en todo el eje X, veremos que fuera del intervalo {0, T} la función de la serie de Fourier repetirá periódicamente nuestra función.

Por ejemplo, en la gráfica de la Fig. 7, la función original está definida en el intervalo {-T\2, +T\2}, y la serie de Fourier representa una función periódica definida en todo el eje x.

Esto se debe a que las sinusoides en sí mismas son funciones periódicas, por lo que su suma también será una función periódica.

Por lo tanto:

Nuestra función original es una función continua y no periódica definida en algún segmento de longitud T.
El espectro de esta función es discreto, es decir, se representa como una serie infinita de componentes armónicas – una serie de Fourier.
De hecho, la serie de Fourier define cierta función periódica, que coincide con nuestra función en el intervalo {0, T}, pero para nosotros esta periodicidad no es esencial.

A continuación.

Los períodos de las componentes armónicas son múltiplos del intervalo {0, T}, en el que está definida la función inicial f(x). En otras palabras, los períodos de los armónicos son múltiplos de la duración de la medición de la señal. Por ejemplo, el período del primer armónico en una serie de Fourier es igual al intervalo T en el que está definida la función f(x). El período del segundo armónico en una serie de Fourier es igual al intervalo T/2. Y así sucesivamente (véase la Figura 8).

En consecuencia, las frecuencias de las componentes armónicas son múltiplos de 1/T. Es decir, las frecuencias de las componentes armónicas Fk son Fk= k\T, donde k toma valores de 0 a ∞, por ejemplo, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T;k=3 F3=3\T;…. Fk= k\T (a frecuencia cero, una componente constante).

Supongamos que nuestra función inicial es una señal registrada durante T=1 seg. Entonces, el período del primer armónico será igual a la duración de nuestra señal T1=T=1 seg y la frecuencia del armónico será igual a 1 Hz. El período del segundo armónico será igual a la duración de nuestra señal dividida por 2 (T2=T/2=0.5 seg.) y la frecuencia será igual a 2 Hz. Para el tercer armónico, T3=T/3 seg y la frecuencia es de 3 Hz. Y así sucesivamente.

El paso entre armónicos en este caso es de 1 Hz.

Por lo tanto, una señal con una duración de 1 seg puede descomponerse en componentes armónicas (para obtener un espectro) con una resolución de frecuencia de 1 Hz.
Para aumentar la resolución por un factor de 2 hasta 0.5 Hz, es necesario aumentar la duración de la medición por un factor de 2 hasta 2 segundos. Una señal de 10 segundos puede descomponerse en componentes armónicos (espectro) con una resolución de frecuencia de 0.1 Hz. No hay otras formas de aumentar la resolución de frecuencia. Puede explorar esta relación con nuestro Calculadora de resolución FFT.

Existe una forma de aumentar artificialmente la duración de la señal agregando ceros a la matriz de muestras. Pero esto no aumenta la resolución de frecuencia real.

Señales discretas y transformada discreta de Fourier

Con el desarrollo de la tecnología digital, las formas de almacenamiento de datos de medición (señales) han cambiado. Mientras que anteriormente una señal podía grabarse en una grabadora de cinta y almacenarse en una cinta en forma analógica, ahora las señales se digitalizan y se almacenan en archivos en la memoria de la computadora como un conjunto de números (conteos).

El esquema habitual de medición y digitalización de señales es el siguiente.

Transductor de medición —- Normalizador de señal —- ADC —– Computadora
(Fig.9 Esquema del canal de medición)

La señal del transductor de medición va al ADC durante un período de tiempo T. Las lecturas de la señal (muestreo) recibidas durante el tiempo T se transmiten a la computadora y se guardan en la memoria.

¿Cuáles son los requisitos para los parámetros de digitalización de la señal? Un dispositivo que convierte la señal analógica de entrada en un código discreto (señal digital) se llama convertidor analógico-digital (ADC) (© Wiki).

Uno de los parámetros básicos del ADC es la tasa de muestreo máxima – la frecuencia de muestreo de una señal que es continua en el tiempo. La tasa de muestreo se mide en hercios. ((© Wiki))

Según el teorema de Kotelnikov, si una señal continua tiene un espectro limitado por la frecuencia Fmax, puede reconstruirse completamente y de manera única a partir de sus muestras discretas tomadas en intervalos de tiempo Δt ≤ 1/(2*Fmax), es decir, con una frecuencia de muestreo Fd ≥ 2*Fmax, donde Fd – frecuencia de muestreo; Fmax – la frecuencia máxima del espectro de la señal. En otras palabras, la frecuencia de digitalización de la señal (frecuencia de muestreo del ADC) debe ser al menos el doble de la frecuencia máxima de la señal que queremos medir.

¿Y qué sucederá si tomamos muestras con una frecuencia menor que la requerida por el teorema de Kotelnikov?

En este caso hay un “aliasing” (también conocido como efecto estroboscópico, efecto moiré), en el cual una señal de alta frecuencia, después de la digitalización, se convierte en una señal de baja frecuencia, que en realidad no existe. En la Fig. 11, la onda sinusoidal roja de alta frecuencia es la señal real. La onda sinusoidal azul de menor frecuencia es una señal ficticia, que surge debido a que durante el tiempo de muestreo ha pasado más de la mitad del período de la señal de alta frecuencia.

 

Para evitar el efecto de aliasing, se coloca un filtro anti-alias especial (filtro paso bajo) antes del ADC. Este pasa las frecuencias inferiores a la mitad de la frecuencia de muestreo del ADC y corta las frecuencias más altas.

Para calcular el espectro de la señal a partir de sus muestras discretas, se utiliza la transformada discreta de Fourier (DFT) Nuevamente, tenga en cuenta que el espectro de una señal discreta está “por definición” limitado a una frecuencia Fmax menor que la mitad de la frecuencia de muestreo Fd. Por lo tanto, el espectro de una señal discreta puede representarse mediante la suma de un número finito de armónicos, en contraste con la suma infinita para la serie de Fourier de una señal continua, cuyo espectro puede ser ilimitado. Según el teorema de Kotelnikov, la frecuencia máxima de un armónico debe ser tal que tenga en cuenta al menos dos muestras, por lo que el número de armónicos es igual a la mitad del número de muestras de una señal discreta. Es decir, si hay N muestras en la muestra, el número de armónicos en el espectro será N/2.

Consideremos ahora la transformada discreta de Fourier (DFT).

Comparándola con la serie de Fourier

 

Como podemos ver, coinciden, excepto por el hecho de que el tiempo en la FFT es discreto y el número de armónicos está limitado a N/2, que es la mitad del número de muestras.

Las fórmulas de la DFT se escriben en variables enteras adimensionales k, s, donde k es el número de muestras de la señal, s es el número de componentes espectrales.
El valor s muestra el número de oscilaciones armónicas completas por período T (duración de la medición de la señal). La transformada discreta de Fourier se utiliza para encontrar las amplitudes y fases de los armónicos numéricamente, es decir, “en la computadora”.

Como ya se dijo anteriormente, al descomponer una función no periódica (nuestra señal) en serie de Fourier, la serie de Fourier resultante en realidad corresponde a una función periódica con período T (Fig.12).

 

 

Como se puede ver en la Fig. 12, la función f(x) es periódica con un período T0. Sin embargo, debido a que la longitud de la muestra de medición T no es igual al período de la función T0, la función obtenida como una serie de Fourier tiene una discontinuidad en el punto T. Como resultado, el espectro de esta función contendrá una gran cantidad de armónicos de alta frecuencia. Este fenómeno se conoce como fuga espectral, y en la práctica se reduce mediante ventaneado la señal antes de la transformada. Si la duración de la muestra de medición T coincidiera con el período de la función T0, entonces el espectro obtenido después de la transformada de Fourier contendría solo el primer armónico (una sinusoides con un período igual a la duración de la muestra), porque la función f(x) es una sinusoides.

En otras palabras, el programa de DFT “no sabe” que nuestra señal es un “fragmento de una onda sinusoidal”, pero intenta representar como una serie una función periódica que tiene una discontinuidad debido a la discontinuidad de los fragmentos separados de la onda sinusoidal.

Como resultado, aparecen armónicos en el espectro, que en total deben representar la forma de la función, incluida esta discontinuidad.

Por lo tanto, para obtener un espectro “correcto” de una señal que es una suma de varias sinusoides con diferentes períodos, es necesario que un número entero de períodos de cada sinusoide esté presente en el período de medición de la señal. En la práctica, esta condición puede cumplirse con una duración suficientemente larga de la medición de la señal.

 

 

Con una duración más corta, la imagen se verá “peor”:

 

 

 

 

En la práctica, puede ser difícil entender dónde están las “componentes reales” y dónde están los “artefactos” causados por la inconsistencia de los períodos de las componentes y las duraciones de muestreo de la señal o “saltos y rupturas” en la forma de onda. Por supuesto, las palabras “componentes reales” y “artefactos” van entre comillas por una razón. La presencia de muchos armónicos en la gráfica del espectro no significa que nuestra señal esté realmente compuesta por ellos. Es como pensar que el número 7 “consiste” en los números 3 y 4. El número 7 puede pensarse como la suma de 3 y 4 – eso es correcto.

Así también nuestra señal… o mejor dicho, ni siquiera “nuestra señal”, sino una función periódica compuesta por la repetición de nuestra señal (muestra) puede representarse como una suma de armónicos (ondas sinusoidales) con ciertas amplitudes y fases. Pero en muchos casos importantes para la práctica (véanse las figuras anteriores), de hecho, es posible relacionar los armónicos obtenidos en el espectro también con procesos reales que tienen carácter cíclico y contribuyen significativamente a la forma de la señal.

Algunos resultados

1. Una señal real medida con una duración de T segundos, digitalizada por un ADC, es decir, representada por un conjunto de muestras discretas (N piezas), tiene un espectro discreto no periódico representado por un conjunto de armónicos (N/2 piezas).

2. La señal está representada por un conjunto de valores reales. Su espectro DFT es un conjunto de coeficientes complejos con simetría conjugada; a partir de ellos se obtiene el espectro de amplitud: un conjunto de amplitudes reales no negativas (y fases) en frecuencias positivas, y es este espectro de amplitud unilateral el que se traza en la práctica. La forma compleja bilateral con frecuencias negativas y la forma de amplitud/fase unilateral son representaciones equivalentes del mismo espectro: para el análisis de señales, generalmente es más conveniente trabajar con el espectro de amplitud unilateral.

3. La señal medida en el tiempo T está determinada únicamente en el tiempo T. Lo que ocurrió antes de comenzar a medir la señal y lo que ocurrirá después es desconocido para la ciencia. Y en nuestro caso no nos interesa. La FFT de la señal limitada en el tiempo proporciona su espectro “real”, en el sentido de que, bajo ciertas condiciones, permite calcular la amplitud y la frecuencia de sus componentes.