Fourier’ muunduse rakendamine vibratsioonisignaalide analüüsis

Andrei Šelkovenko. Üks Vibromera arendajatest ja asutaja.
Artikli tõlge võib sisaldada ebatäpsusi.

Fourier' teisendus ja signaali spekter

Paljudel juhtudel on ülesandeks saada (arvutada) spekter signaali töötlemine toimub järgmiselt. Kasutusel on ADC, mis võtab proove sagedus Fd teisendab ajavahemiku T jooksul sisendisse jõudva pideva signaali N digitaalseks prooviks. Seejärel edastatakse see proovide massiiv mõnele programmile (näiteks FourierScope), mis väljastab N/2 numbrilist väärtust.

Et kontrollida, kas programm töötab õigesti, moodustame proovide massiivi kahe sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) summana ja sisestame selle programmi. Programm joonistas järgmist:

 

 

On kaks harmoonilised spektridiagrammil – 5 Hz amplituudiga 0,5 V ja 10 Hz amplituudiga 1 V, kõik on nii, nagu algse signaali valemis. Kõik on korras, programm töötab korrektselt.

See tähendab, et kui me söödame ADC sisendisse kahe sinusoidi segust koosnevat reaalsignaali, saame sarnase spektri, mis koosneb kahest harmoonikast.

Nii et meie tõeline mõõdetud signaal kestusega 5 sekundit, mis on digitaliseeritud ADC abil, s.t. kujutatud diskreetselt proovid, on diskreetne mitteperioodiline spekter.
Matemaatilisest vaatenurgast - kui palju vigu selles lauses on?

Nüüd proovime mõõta sama signaali 0,5 sekundi jooksul.

 

 

Midagi on siin valesti! Harmooniline 10 Hz juures on joonistatud normaalselt ja 5 Hz juures oleva harmoonilise asemel on mõned ebaselged harmoonilised.

Internetis öeldakse, et proovi lõppu tuleb lisada nullid ja siis joonistub spekter normaalselt.

 

 

See ei ole üldse nii. Ma pean tegelema teooriaga. Läheme Wikipedia - teadmiste allikas.

Pidev funktsioon ja selle Fourier' seeria esitus

Matemaatiliselt on meie signaal kestusega T sekundit mingi funktsioon f(x), mis on antud ajavahemikul {0, T} (X on antud juhul aeg). Sellist funktsiooni saab alati esitada harmooniliste funktsioonide (siinus või kosinus) summana kujul:

k on trigonomeetrilise funktsiooni number ( harmoonilise komponendi number, harmoonilise number)
T - segment, kus funktsioon on määratletud (signaali kestus)
Ak- k-nda harmoonilise komponendi amplituud,
θk- k-nda harmoonilise komponendi algfaas
Mida tähendab "funktsiooni kujutamine jadade summana"? See tähendab, et Fourier' seeria harmooniliste komponentide väärtuste liitmisel igas punktis saame meie funktsiooni väärtuse selles punktis.
(Täpsemalt öeldes kaldub seeria keskmine ruuthälve funktsioonist f(x) nullile, kuid vaatamata keskmisele ruutkeskmisele konvergentsile ei pea funktsiooni Fourier' jada üldjuhul punktide kaupa sinna konvergeeruma. )
Selle seeria võib kirjutada ka kujul:

 

 

 

kus , k-nda kompleksne amplituud.

 

või

 

 

 

Koefitsientide (1) ja (3) vaheline seos on väljendatud järgmiste valemitega:

 

 

 

 

Pange tähele, et kõik need kolm Fourier' rea esitust on täielikult ekvivalentsed. Mõnikord on Fourier' reaga töötades mugavam kasutada siinuste ja koosinuste asemel imaginaarargumendiga eksponente, s.t. kasutada Fourier' teisendust komplekskujul. Meie jaoks on siiski mugav kasutada valemit (1), kus Fourier' rida on esitatud vastavate amplituudide ja faasidega koosinuste summana. Rangelt võttes annab reaalse signaali Fourier' teisendus tõepoolest komplekskordajad (kuju (3)): iga kordaja kannab oma harmoonilise amplituudi ja faasi. Reaalse signaali puhul on neil komplekskordajatel konjugeeritud (Hermiitiline) sümmeetria — negatiivsete sageduste pool peegeldab lihtsalt positiivsete sageduste poolt ega lisa teavet. Seetõttu saame komplekskordajatest alati üle minna valemi (1) reaalsete mittenegatiivsete amplituudide Ak ja faaside θk juurde — ja just seda amplituudispektrit kuvavad analüüsiprogrammid.

 

Lõpptulemus:
Signaalide spektraalanalüüsi matemaatiline alus on Fourier' teisendus.

Fourier' teisendus võimaldab esitada pidevat funktsiooni f(x) (signaali), mis on määratletud ajavahemikus {0, T}, samuti ajavahemikus {0, T} vaadeldavate lõpmatu arvu (lõpmatu seeria) trigonomeetriliste funktsioonide (siinus ja/või koosinus) summana, mille amplituudid ja faasid on kindlad. Sellist jada nimetatakse Fourier' jadaks.

Pange tähele veel mõningaid punkte, mille mõistmine on vajalik Fourier' teisenduse õigeks rakendamiseks signaalianalüüsis. Kui vaatleme Fourier' jada (sinusoidide summa) kogu X-teljel, näeme, et väljaspool intervalli {0, T} kordab Fourier' seeria funktsioon perioodiliselt meie funktsiooni.

Näiteks joonisel 7 esitatud graafikul on algne funktsioon määratletud ajavahemikul {-T\2, +T\2} ja Fourier' jada kujutab endast perioodilist funktsiooni, mis on määratletud kogu x-teljel.

See tuleneb sellest, et sinusoidid ise on perioodilised funktsioonid, seega on ka nende summa perioodiline funktsioon.

Seega:

Meie algne funktsioon on pidev, mitteperioodiline funktsioon, mis on defineeritud mingi lõigu pikkusega T.
Selle funktsiooni spekter on diskreetne, s.t. see esitatakse lõpmatu harmooniliste komponentide reana - Fourier' jadana.
Tegelikult defineerib Fourier' jada mingi perioodilise funktsiooni, mis langeb kokku meie funktsiooniga ajavahemikul {0, T}, kuid meie jaoks ei ole see perioodilisus oluline.

Järgmine.

Harmooniliste komponentide perioodid on intervall {0, T}, millel algfunktsioon f(x) on defineeritud, mitmekordsed. Teisisõnu, harmooniliste perioodid on signaali mõõtmise kestuse kordajad. Näiteks Fourier' seeria esimese harmoonilise periood on võrdne intervalliga T, millel funktsioon f(x) on defineeritud. Teise harmoonilise periood Fourier' jadas on võrdne intervalliga T/2. Ja nii edasi (vt joonis 8).

Vastavalt sellele on harmooniliste komponentide sagedused 1/T kordajad. See tähendab, et harmooniliste komponentide Fk sagedused on Fk= k\T, kus k on väärtused 0 kuni ∞, näiteks k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T;k=3 F3=3\T;.... Fk= k\T (nullsagedusel, konstantne komponent).

Olgu meie esialgne funktsioon, on signaal, mis on salvestatud T=1 sek. jooksul. Siis on esimese harmoonilise periood võrdne meie signaali kestusega T1=T=1 sek ja harmoonilise sagedus on võrdne 1 Hz. Teise harmoonilise periood on võrdne meie signaali kestusega jagatud 2ga (T2=T/2=0,5 sek) ja sagedus on 2 Hz. Kolmanda harmoonilise puhul on T3=T/3 sek ja sagedus on 3 Hz. Ja nii edasi.

Harmoonikute vaheline samm on sel juhul 1 Hz.

Seega saab signaali, mille kestus on 1 sekund, lahutada harmoonilisteks komponentideks (spektri saamiseks) sageduse eraldusvõimega 1 Hz.
Selleks et suurendada resolutsiooni kaks korda, st 0,5 Hz-ni, tuleb mõõtmise kestust pikendada kaks korda, st 2 sekundini. 10-sekundilist signaali on võimalik lagundada harmoonilisteks komponentideks (spektriks) sagedusresolutsiooniga 0,1 Hz. Muid viise sagedusresolutsiooni suurendamiseks ei ole. Saate seda seost uurida meie FFT resolutsiooni kalkulaator.

On olemas viis, kuidas kunstlikult suurendada signaali kestust, lisades proovide massiivi nullid. Kuid see ei suurenda tegelikku sageduse eraldusvõimet.

Diskreetne signaal ja diskreetne Fourier’ teisendus

Digitaaltehnoloogia arenguga on mõõtmisandmete (signaalide) salvestamise viisid muutunud. Kui varem võis signaali salvestada magnetofonile ja salvestada lindile analoogkujul, siis nüüd on signaalid digitaliseeritud ja salvestatud numbrite (loenduste) kogumina failidesse arvutimällu.

Signaali mõõtmise ja digiteerimise tavaline skeem näeb välja järgmiselt.

Mõõtmisandur -- Signaali normaliseerija -- ADC -- Arvuti
(Joonis 9 Mõõtekanali skeem)

Mõõteandurilt saadav signaal läheb ADC-sse aja T jooksul. Aja T jooksul saadud signaalinäidud (proovivõtmine) edastatakse arvutisse ja salvestatakse mällu.

Millised on nõuded signaalide digiteerimise parameetritele? Seadet, mis muundab sisendanaloogsignaali diskreetseks koodiks (digitaalsignaaliks), nimetatakse analoog-digitaalmuunduriks (ADC) (© Wiki).

ADC üks põhiparameetreid on maksimaalne proovivõtusagedus - ajas pideva signaali proovivõtusagedus. Proovivõtusagedust mõõdetakse hertsides. ((© Wiki))

Kotelnikovi teoreemi kohaselt saab pideva signaali, mille spekter on piiratud sagedusega Fmax, täielikult ja üheselt taastada selle diskreetsetest näidistest, mis on võetud ajavahemikega Δt ≤ 1/(2*Fmax), st diskreetimissagedusega Fd ≥ 2*Fmax, kus Fd – diskreetimissagedus; Fmax – signaali spektri maksimaalne sagedus. Teisisõnu peab signaali digiteerimise sagedus (ADC diskreetimissagedus) olema vähemalt kaks korda suurem kui signaali maksimaalne sagedus, mida soovime mõõta.

Ja mis juhtub, kui me võtame proove väiksema sagedusega, kui Kotelnikovi teoreem nõuab?

Sel juhul on tegemist „aliasingSellisel juhul esineb "aliasing" efekt (ka stroboskoopiline efekt, moire-efekt), mille puhul kõrgsageduslik signaal muutub pärast digiteerimist madalasageduslikuks signaaliks, mida tegelikult ei ole olemas. Joonisel 11 on kõrge sagedusega punane siinuslaine tegelik signaal. Madalama sagedusega sinine siinuslaine on fiktiivne signaal, mis tekib seetõttu, et proovivõtu ajal on aega läbida üle poole kõrgsagedusliku signaali perioodist.

 

Aliasingu vältimiseks kasutatakse spetsiaalset anti-aliasingu filtrit (madalpääsufilter) on paigutatud ADC ette. See laseb läbi sagedused, mis on madalamad kui pool ADC diskreetimissagedusest, ning summutab kõrgemad sagedused.

Selleks, et arvutada signaali spektrit selle diskreetseid proove kasutades, diskreetne Fourier' teisendus (DFT) kasutatakse. Tuleb veel kord meeles pidada, et diskreetse signaali spekter on „määratluse järgi“ piiratud sagedusega Fmax, mis on väiksem kui pool diskreetimissagedusest Fd. Seega võib diskreetse signaali spektrit esitada summana piiratud harmooniliste arv, erinevalt pideva signaali Fourier' seeria lõpmatu summast, mille spektri arv võib olla piiramatu. Kotelnikovi teoreemi kohaselt peab harmoonilise maksimaalne sagedus olema selline, et see moodustab vähemalt kaks proovi, nii et harmooniliste arv on võrdne poolega diskreetse signaali proovide arvust. See tähendab, et kui proovis on N proovi, on harmooniliste arv spektris N/2.

Vaatleme nüüd diskreetset Fourier-transformatsiooni (DFT).

Võrreldes seda Fourier' jadaga

 

Nagu näeme, langevad need kokku, välja arvatud asjaolu, et FFT-s on aeg diskreetne ja harmooniate arv on piiratud N/2-ga, mis on pool proovide arvust.

DFT valemid kirjutatakse dimensioonitute täisarvuliste muutujate k, s kujul, kus k on signaali proovide arv, s on spektrikomponentide arv.
Väärtus s näitab täisharmooniliste võnkumiste arvu perioodi T (signaali mõõtmise kestus) kohta. Diskreetse Fourier' teisenduse abil leitakse harmoonikute amplituudid ja faasid numbriliselt, st "arvutis".

Nagu eespool juba öeldud, kui mitteperioodiline funktsioon (meie signaal) lagundatakse Fourier' jadaks, vastab saadud Fourier' rida tegelikult perioodilisele funktsioonile perioodiga T (joonis 12).

 

 

Nagu joonisel 12 näha, on funktsioon f(x) perioodiline perioodiga T0. Kuna mõõtevalimi pikkus T ei ole võrdne funktsiooni perioodiga T0, on Fourier’ rea abil saadud funktsioonil punktis T katkemine. Selle tulemusena sisaldab selle funktsiooni spekter suurt hulka kõrgsageduslikke harmoonilisi. Seda nähtust nimetatakse spektraalne lekeja praktikas vähendatakse seda aknakate signaal enne teisendust. Kui mõõteproovi T kestus langeks kokku funktsiooni T0 perioodiga, sisaldaks Fourier’ teisenduse järel saadud spekter ainult esimest harmoonilist (sinusoidi, mille periood on võrdne proovi kestusega), kuna funktsioon f(x) on sinusoid.

Teisisõnu, DFT-programm "ei tea", et meie signaal on "siinuslaine viil", vaid üritab kujutada jadana perioodilist funktsiooni, millel on siinuslaine eraldi tükkide katkendlikkusest tingitud katkendlikkus.

Selle tulemusena ilmnevad spektris harmoonilised, mis peaksid kokku esindama funktsiooni kuju, sealhulgas seda ebastabiilsust.

Seega, et saada "õige" spekter signaalist, mis on mitme erineva perioodiga sinusoidi summa, on vaja, et täisarvuline arv perioode iga sinusoid peaks olema olemas signaali mõõteperioodil. Praktikas saab seda tingimust täita, kui signaali mõõtmise kestus on piisavalt pikk.

 

 

Lühemal kestusel näeb pilt "halvem" välja:

 

 

 

 

Praktikas võib olla raske mõista, kus on "tõelised komponendid" ja kus "artefaktid", mis on põhjustatud komponentide perioodide ja signaali proovivõtu kestuse ebajärjekindlusest või "hüpetest ja katkestustest" lainekujul. Loomulikult on sõnad "tegelikud komponendid" ja "artefaktid" põhjusega pandud jutumärkidesse. Paljude harmooniliste komponentide olemasolu spektri graafikul ei tähenda, et meie signaal tegelikult neist koosneks. See on sama, kui arvata, et number 7 "koosneb" numbritest 3 ja 4. Numbrit 7 võib mõelda kui 3 ja 4 summat - see on õige.

Seega ka meie signaal... või õigemini isegi mitte "meie signaal", vaid perioodiline funktsioon, mis koosneb meie signaali (proovi) kordamisest, on esitatav teatud amplituudide ja faasidega harmooniliste (siinuslaine) summana. Kuid paljudel praktika jaoks olulistel juhtudel (vt joonised eespool) on tõepoolest võimalik seostada spektris saadud harmoonikuid ka reaalsete protsessidega, millel on tsükliline iseloom ja mis aitavad oluliselt kaasa signaali kujule.

Mõned tulemused

1. Reaalsel mõõdetud signaalil, mille kestus on T sekundit ja mis on digitaliseeritud ADC abil, st mida esindab diskreetsete proovide kogum (N tükki), on diskreetne mitteperioodiline spekter, mida esindab hulk harmoonilisi (N/2 tükki).

2. Signaal on esitatud reaalarvuliste väärtuste kogumina. Selle DFT spekter on konjugeeritud sümmeetriaga komplekskordajate kogum; neist saadakse amplituudispekter — positiivsetel sagedustel olevate mittenegatiivsete reaalsete amplituudide (ja faaside) kogum — ning praktikas kuvatakse just seda ühepoolset amplituudispektrit. Kahepoolne negatiivsete sagedustega komplekskuju ja ühepoolne amplituudi/faasi kuju on sama spektri ekvivalentsed esitused — signaalianalüüsis on tavaliselt mugavam töötada ühepoolse amplituudispektriga.

3. Ajal T mõõdetud signaal on määratud ainult ajal T. Mis juhtus enne signaali mõõtmist ja mis juhtub pärast seda, on teadusele teadmata. Ja meie puhul ei ole see huvitav. Ajaliselt piiratud signaali FFT annab selle "tegeliku" spektri, selles mõttes, et teatud tingimustel võimaldab see arvutada selle komponentide amplituudi ja sageduse.