Comprendre le spectre croisé
Spectre croisé — également appelé spectre de puissance croisé ou densité spectrale croisée — est la représentation dans le domaine fréquentiel de la relation entre deux Vibrations signaux. Il est calculé en multipliant les FFT d'un signal par le conjugué complexe de la FFT de l'autre. Là où un auto-spectre montre le contenu fréquentiel d'un seul canal, le spectre croisé révèle quelles fréquences sont common aux deux signaux et le phase la relation entre eux à chaque fréquence.
Cela fait du spectre croisé le fondement mathématique de l'analyse multicanal avancée : fonction de transfert estimation, cohérence analyse, et la déformée opérationnelle (ODS) les mesures reposent toutes sur lui. En pratique, il permet à un ingénieur de voir comment la vibration se propage dans une structure et d'identifier les relations de cause à effet entre les points de mesure — ce qu'un spectre est tout simplement incapable de faire.
1. Définition mathématique
Calcul
La relation fondamentale est concise :
Gxy(f) = X(f) × Y*(f)
- X(f) est la FFT du signal x(t).
- Y*(f) est le conjugué complexe de la FFT du signal y(t).
- Le résultat est à valeur complexe, portant à la fois le module et la phase.
Composants
- Module — |Gxy(f)|: indique la puissance du contenu fréquentiel partagé par les deux signaux.
- Phase — ∠Gxy(f): indique la différence de phase entre les signaux à chaque fréquence.
- Real part: la composante en phase, ou co-spectrale.
- Partie imaginaire : la composante en quadrature, ou déphasée de 90°.
2. Properties
Trois propriétés distinguent l'interspectre du familier autospectre, et chacune d'entre elles est importante pour l'interprétation.
Il est à valeur complexe
- Contrairement à l'autospectre, qui est uniquement réel, l'interspectre est complexe.
- Il porte donc à la fois une magnitude et une phase.
- Cette information de phase est l'essentiel — c'est elle qui révèle la relation temporelle entre les deux signaux.
Il n'est pas symétrique
- En général Gxy(f) ≠ Gyx(f).
- L'ordre importe — le signal choisi comme référence modifie le résultat.
- Formally, Gyx(f) est le conjugué complexe de Gxy(f), de sorte que la phase change simplement de signe.
Il nécessite un moyennage
- Un interspectre calculé sur un seul bloc est bruité et peu fiable.
- Le moyennage de nombreux interspectres produit une estimation stable.
- Les composantes de bruit non corrélées tendent vers zéro lors du moyennage, car leur phase est aléatoire d'un bloc à l'autre.
- Les composantes véritablement corrélées conservent une phase cohérente et se renforcent — c'est précisément pourquoi le moyennage améliore la qualité de l'estimation.
3. Applications
Calcul de la fonction de transfert
Il s'agit de l'application de loin la plus importante :
H(f) = Gxy(f) / Gxx(f)
- Ici x est l'entrée et y est la sortie.
- Le résultat montre comment le système répond à l'excitation.
- Son module indique l'amplification ou l'atténuation à chaque fréquence.
- Sa phase indique le retard temporel et résonance behaviour.
- C'est la mesure fondamentale de analyse modale et la dynamique des structures, étroitement liée à la fonction de réponse en fréquence.
Calcul de la cohérence
- La cohérence est définie comme |Gxy|² / (Gxx × Gyy).
- Il mesure la corrélation entre les deux signaux à chaque fréquence.
- Il varie de 0 à 1 : une valeur de 1 indique une corrélation parfaite, 0 signifie aucune corrélation.
- Il valide la qualité de la mesure et signale les zones où le résultat est altéré par le bruit — indispensable lors d'un test de choc ou relevé modal.
Détermination de la relation de phase
- La phase issue de l'interspectre révèle directement le retard temporel ou la résonance.
- 0°: les signaux sont en phase, ils évoluent ensemble.
- 180° : les signaux sont en opposition de phase, ils évoluent en sens inverse.
- 90° : en quadrature, indiquant une résonance ou un retard temporel pur.
- C'est le fondement du diagnostic pour formes de mode et pour tracer la transmission des vibrations.
Rejection du mode commun
- L'interspectre isole les composantes fréquentielles communes aux deux voies.
- Le bruit non corrélé est annulé par moyennage.
- Les composantes de signal réellement partagées émergent du fond de bruit.
- L'avantage pratique est un meilleur rapport signal sur bruit.
4. Scénarios de mesure pratiques
L'idée abstraite devient concrète dès que deux capteurs sont placés sur une machine réelle. Trois configurations courantes illustrent l'intérêt.
Comparaison des roulements
- Signal X : vibration au palier 1. Signal Y : vibration au palier 2.
- L'interspectre montre les fréquences qui affectent simultanément les deux paliers.
- Cela permet de distinguer un problème commun lié au rotor d'un problème local à un palier.
Analyse entrée–sortie
- Signal X : force ou vibration à l'entrée — un accouplement ou le palier du moteur d'entraînement.
- Signal Y : la réponse à la sortie — le palier de l'équipement entraîné.
- L'interspectre révèle les caractéristiques de transmission entre eux.
- La fonction de transfert dérivée quantifie alors précisément la manière dont les vibrations se propagent à travers un couplage.
Transmission structurelle
- Signal X : vibration du carter de palier. Signal Y : vibration de la fondation ou du bâti.
- L'interspectre montre quelles fréquences atteignent effectivement la structure.
- Ce qui oriente les décisions d'isolation ou de rigidification, et se connecte directement à rigidité des fondations et résonance structurelle problèmes.
5. Interprétation du spectre croisé
Amplitude élevée à une fréquence
- Indique une forte corrélation entre les signaux à cette fréquence.
- Pointe vers une source commune ou un couplage fort entre les deux emplacements.
- La composante est véritablement présente dans les deux signaux.
Faible amplitude à une fréquence
- Indique une faible corrélation — couplage insuffisant ou absence de source commune.
- La composante peut exister dans un signal mais pas dans l'autre.
- Ou il peut simplement s'agir d'un bruit non corrélé provenant de sources différentes.
Informations sur la phase
- 0°: les signaux évoluent ensemble — connexion rigide, ou fonctionnement en dessous de la résonance.
- 180° : les signaux évoluent en opposition — au-dessus de la résonance, ou de part et d'autre d'un axe de symétrie.
- 90° : en quadrature — à la résonance, ou résultant d'une géométrie particulière.
- Phase dépendante de la fréquence : la façon dont la phase varie avec la fréquence révèle le comportement dynamique de la structure.
6. Applications avancées
Analyse multi-entrées / multi-sorties
- Plusieurs signaux de référence sont associés à plusieurs signaux de réponse.
- Le résultat est une matrice complète de spectres croisés.
- Elle identifie plusieurs voies de transmission simultanées.
- C'est ainsi que sont caractérisés les systèmes véritablement complexes.
Déformées opérationnelles
- Des spectres croisés sont mesurés entre de nombreux points de mesure autour d'une machine.
- Leurs relations de phase définissent le schéma de déformation.
- Le mouvement de l'ensemble de la structure peut ensuite être visualisé et animé.
- Les modes de résonance ressortent clairement dans le résultat.
7. Spectre croisé en équilibrage sur site
Bien que le spectre croisé soit le plus souvent associé aux travaux modaux et structuraux, les mêmes mathématiques à deux canaux sous-tendent l'utilisation quotidienne du équilibrage sur place. Un appareil portable à deux canaux tel que le Balanset-1A enregistre simultanément les vibrations sur deux plans de palier et les référence tous deux à l'impulsion tachymétrique d'un tour par révolution, ce qui lui permet de résoudre l'amplitude et la phase de la composante 1× sur chaque plan et de calculer les coefficients d'influence couplés croisés qui relient une masse dans un plan à la réponse dans l'autre. Cette relation à deux canaux référencée en phase est conceptuellement un spectre croisé centré sur la vitesse de fonctionnement — et c'est précisément ce qui rend l'équilibrage correct en deux plans l’équilibrage dynamique possible sur une machine assemblée.
En résumé, le spectre croisé étend l'analyse fréquentielle d'un canal à plusieurs, exposant les relations entre signaux qui permettent le calcul de fonctions de transfert, la validation de la cohérence, et la compréhension de la façon dont les vibrations se propagent à travers une machine et ses supports. Plus exigeant que l'auto-spectre, il est néanmoins indispensable pour les essais modaux, la dynamique des structures, et tout diagnostic sophistiqué reposant sur une mesure multipoints.
