Arkusz referencyjny · model sztywnego ciała o stałej osi
Arkusz kalkulacyjny momentu bezwładności masy osiowej dla kształtów jednolitych
Oblicz moment bezwładności masy względem podanej osi obrotu przechodzącej przez środek ciężkości dla jednego jednolitego idealnego pełnego cylindra/tarczy, cylindra pierścieniowego lub pełnej kuli.
Kontrolowane dane wejściowe
Używaj udokumentowanej masy, gdy jest dostępna. Pomocnik gęstości służy wyłącznie dla jednolitego kształtu o jednorodnej gęstości. Zmiana jednostki czyści powiązane pole numeryczne oraz poprzedni wynik, więc liczba nigdy nie jest cicho reinterpretowana.
Wynik odniesienia
Równania, jednostki i granice modelu
Moment bezwładności masy względem określonej stałej osi wynosi J = ∫r⊥²dm, gdzie r⊥ to odległość prostopadła od każdego elementu masy do tej osi. To samo ciało zazwyczaj ma inną bezwładność względem innej osi.
Użyte tutaj osiowe wzory przechodzące przez środek ciężkości
R = D/2 oraz Ri = d/2. Wzory na cylindry dotyczą wyłącznie centralnej osi symetrii podłużnej. Wzór na kulę dotyczy średnicy przechodzącej przez jej środek.
Opcjonalny pomocnik o jednorodnej gęstości
Pomocnik wyprowadza masę wyłącznie dla jednorodnego pełnego cylindra/cylindra pierścieniowego lub pełnej kuli. Długość nie występuje w osiowym J, gdy masa jest znana, ale w trybie gęstości zmienia masę, a tym samym J.
Dokładna normalizacja jednostek
Arkusz oblicza w kg·m² i raportuje dokładne wyprowadzone ekwiwalenty. W szczególności, 1 kg·m² = 10⁹ g·mm²; 1 in = 0,0254 m oraz 1 lbm = 0,45359237 kg dokładnie. Używa się „lbm·ft²”, a nie niejednoznacznego oznaczenia „lb·ft²”.
Wirniki przesunięte i złożone
Twierdzenie o osach równoległych to J = Jcm + m d⊥², gdzie d⊥ to odległość prostopadła między osiami równoległymi. Nie zastępuje ono zdefiniowania ostatecznej wspólnej osi. Wirniki złożone mogą wymagać składowych materiału/próżni ze znakami, transformacji współrzędnych, właściwości masowych CAD lub bezpośredniego pomiaru bezwładności; ten arkusz nie sumuje komponentów.
Niezależna publikacja kontrolna
University Physics (UCF/OpenStax) podaje układ współosiowy składający się z tarczy o masie 2,0 kg i promieniu 0,50 m oraz cylindra pierścieniowego o masie 1,0 kg z promieniami wewnętrznym/zewnętrznym 0,20/0,30 m; jego opublikowana suma wynosi 0,315 kg·m². Dwa uruchomienia arkusza z udokumentowaną masą dają 0,250 kg·m² i 0,065 kg·m², których kontrolowana suma odtwarza 0,315 kg·m². To sprawdza wzory; nie upoważnia do używania tego arkusza dla pojedynczego komponentu jako ogólnego modelu zespołu wirnika.
Klasyfikacja źródłowa
| Twierdzenie | Klasyfikacja | Przeanalizowane źródło |
|---|---|---|
| J = ∫r⊥²dm; dysk/walec ½mR²; sfera ⅖mR²; zależność od osi | Ogólna mechanika klasyczna; nie jest to wzór ISO | MIT OCW 8.01L wykład 28, wyrenderowana strona 2 |
| Walec pierścieniowy ½m(Ro²+Ri²) | Zintegrowana jednorodna gruba powłoka cylindryczna | University of Illinois Engineering Dynamics Reference |
| Twierdzenie o osach równoległych J = Jcm + md⊥² | Ogólna mechanika klasyczna; odległość prostopadła między osiami równoległymi | MIT OCW 8.01L wykład 28, wyrenderowana strona 2 |
| Weryfikacja 0,315 kg·m² dysk-plus-pierścień | Opublikowany przykład z podręcznika uniwersyteckiego | UCF Pressbooks / OpenStax University Physics, rozdział 10.4 |
| Podstawa przeliczeń cala, funta-masy i lbm·ft² | Metrologia / przeliczanie jednostek | NIST SP 811 Dodatek B.8 |
- MIT OCW 8.01L Physics I, wykład 28 — definicja, warunek osi stałej, wzory dla typowych kształtów, zależność od osi oraz twierdzenie o osach równoległych.
- University of Illinois Engineering Dynamics Reference, momenty bezwładności — całkowanie grubej powłoki cylindrycznej i wzór na walec pierścieniowy osiowy.
- UCF/OpenStax University Physics 10.4 — definicja, zależność od osi oraz opublikowany przykład dysku z walcem pierścieniowym.
- NIST SP 811 Dodatek B.8 — podstawa przeliczeń cala, funta-masy, funta-stopa-kwadrat oraz funta-cal-kwadrat.
Dostęp: 14 lipca 2026 r. Cytowana strona MIT została wyrenderowana i wizualnie zinspirowana. Nie wdrożono kryterium akceptacji ISO ani API.
Pytania, na które arkusz nie odpowiada
Czy to jest moment bezwładności mojego kompletnego wirnika?
Tylko jeśli jego rzeczywisty rozkład masy względem podanej osi jest reprezentowany przez ten jeden idealny jednorodny kształt. Rzeczywiste wirniki zazwyczaj wymagają właściwości masy CAD/FE, kontrolowanej sumy komponentów lub bezpośredniego pomiaru.
Czy mogę użyć wyniku dla zginania poprzecznego lub kołysania?
Nie. Wynik dla walca/dysku tutaj dotyczy centralnej osi podłużnej obrotu. Momenty poprzeczne zawierają inne wyrazy promienia i długości.
Dlaczego brak ustawień domyślnych materiałów?
Gęstość zależy od kontrolowanego stopu, porowatości, stanu obróbki i temperatury. Wprowadź wartość z rzeczywistej specyfikacji komponentu lub zapisu pomiarowego.
