Referenzarbeitsblatt · Modell eines starren Körpers mit festem Achsensystem
Arbeitsblatt zur Berechnung des axialen Massenträgheitsmoments von einheitlichen Formen
Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment bezüglich der angegebenen zentroidalen Drehachse für einen einheitlichen idealen Vollzylinder/-scheibe, Hohlzylinder oder Vollkugel.
Kontrollierte Eingaben
Verwenden Sie die dokumentierte Masse, wenn verfügbar. Die Dichte-Hilfe ist nur für ein einheitliches homogenes Modell geeignet. Ändern Sie eine Einheit, löscht dies das zugehörige numerische Feld und das vorherige Ergebnis, sodass eine Zahl niemals stillschweigend neu interpretiert wird.
Referenzergebnis
Gleichungen, Einheiten und Modellgrenzen
Das Massenträgheitsmoment bezüglich einer angegebenen festen Achse ist J = ∫r⊥²dm, wobei r⊥ der senkrechte Abstand jedes Massenelements zu dieser Achse ist. Der gleiche Körper hat in der Regel unterschiedliche Trägheit bezüglich einer anderen Achse.
Zentroidale axiale Formeln, die hier verwendet werden
R = D/2 und Ri = d/2. Die Zylinderformeln gelten nur für die zentrale Längssymmetrieachse. Die Kugelformel gilt für einen Durchmesser durch ihren Mittelpunkt.
Optionale einheitliche Dichte-Hilfe
Die Hilfe leitet die Masse nur für einen homogenen vollen Vollzylinder/-scheibe oder Vollkugel ab. Die Länge tritt in J nicht auf, sobald die Masse bekannt ist, ändert sie sich aber im Dichtemodus und damit auch J.
Exakte Einheitennormalisierung
Das Arbeitsblatt berechnet in kg·m² und gibt genaue abgeleitete Äquivalente aus. Insbesondere, 1 kg·m² = 10⁹ g·mm²; 1 in = 0.0254 m und 1 lbm = 0.45359237 kg genau. „lbm·ft²“ wird verwendet, nicht das zweideutige Label „lb·ft²“.
Versetzte und zusammengesetzte Rotoren
Der Parallelachsen-Satz lautet J = Jcm + m d⊥², wobei d⊥ der senkrechte Abstand zwischen parallelen Achsen ist. Er ersetzt nicht die Definition der endgültigen gemeinsamen Achse. Zusammengesetzte Rotoren können signierte Material-/Leerkomponenten, Koordinatentransformationen, CAD-Massen-Eigenschaften oder direkte Trägheitsmessungen erfordern; dieses Arbeitsblatt summiert keine Komponenten.
Unabhängige veröffentlichte Überprüfung
University Physics (UCF/OpenStax) gibt ein koaxiales System an, das aus einem 2.0 kg, 0.50 m-Radius-Diskus und einem 1.0 kg Hohlzylinder mit 0.20/0.30 m inneren/äußeren Radien besteht; sein veröffentlichtes Gesamtresultat beträgt 0.315 kg·m². Zwei Dokumentationsmassen-Arbeitsblatt-Läufe liefern 0.250 kg·m² und 0.065 kg·m², deren kontrollierte Summe 0.315 kg·m² reproduziert. Dies überprüft die Formeln; es autorisiert jedoch nicht die Verwendung dieses einkomponentigen Arbeitsblatts als allgemeines Rotorversammlungsmodell.
Quellenkategorisierung
| Behauptung | Einstufung | Überprüfte Quelle |
|---|---|---|
| J = ∫r⊥²dm; Scheibe/Zylinder ½mR²; Kugel ⅖mR²; Achsenabhängigkeit | Allgemeine klassische Mechanik; keine ISO-Formel | MIT OCW 8.01L Vorlesung 28, Seite 2 |
| Ringzylinder ½m(Ro²+Ri²) | Integrierter gleichmäßiger dicker zylindrischer Mantel | University of Illinois Ingenieurmechanik Referenz |
| Parallele-Achsen-Theorem J = Jcm + md⊥² | Allgemeine klassische Mechanik; senkrechter Abstand zwischen parallelen Achsen | MIT OCW 8.01L Vorlesung 28, Seite 2 |
| 0.315 kg·m² Scheibe-plus-Ringzylinder-Prüfung | Veröffentlichtes Universitätslehrbuchbeispiel | UCF Pressbooks / OpenStax University Physics, Abschnitt 10.4 |
| Zoll, Pound-Masse und lbm·ft² Umrechnungsbasis | Metrologie / Einheitenumrechnung | NIST SP 811 Appendix B.8 |
- MIT OCW 8.01L Physik I, Vorlesung 28 — Definition, feste-Achsen-Bedingung, Formeln für gängige Formen, Achsenabhängigkeit und Parallele-Achsen-Theorem.
- University of Illinois Ingenieurmechanik Referenz, Trägheitsmomente — Integration des dicken zylindrischen Mantels und axiale Formel für den Ringzylinder.
- UCF/OpenStax University Physics 10.4 — Definition, Achsenabhängigkeit und veröffentlichtes Beispiel Scheibe-plus-Ringzylinder.
- NIST SP 811 Appendix B.8 — Zoll, Pound-Masse, Pound-Fuß-Quadrat und Pound-Zoll-Quadrat Umrechnungsbasis.
Zugriff: 14. Juli 2026. Die zitierte MIT-Seite wurde gerendert und visuell überprüft. Es wird kein ISO- oder API-Akzeptanzkriterium implementiert.
Fragen, die dieses Arbeitsblatt nicht beantwortet
Ist dies das Trägheitsmoment meines vollständigen Rotors?
Nur wenn seine tatsächliche Massenverteilung um die angegebene Achse durch diese eine ideale gleichmäßige Form repräsentiert wird. Reale Rotoren erfordern häufig CAD/FE-Massen-Eigenschaften, eine kontrollierte Komponentensumme oder eine direkte Messung.
Kann ich das Ergebnis für Querbiegung oder Schwingung verwenden?
Nein. Das hier ermittelte Ergebnis für Zylinder/Scheibe bezieht sich auf die zentrale longitudinale Drehachse. Querträgheitsmomente enthalten andere Radius- und Längengrößen.
Warum fehlen Materialvorlagen?
Die Dichte hängt von der kontrollierten Legierung, Porosität, Verarbeitungszustand und Temperatur ab. Geben Sie einen Wert aus der tatsächlichen Komponentenspezifikation oder Messprotokoll ein.
