Довідковий робочий аркуш · модель твердого тіла з нерухомою віссю

Робочий аркуш для розрахунку осевого моменту інерції маси тіла однакової форми

Розрахуйте момент інерції маси відносно зазначеної центроїдальної осі обертання для одного однорідного ідеального суцільного циліндра/диска, кільцевого циліндра або суцільної сфери.

J = ∫r⊥²dmдокументована маса або довідник щільностісуворі одиниці вимірюваннябез висновку про прийняття

Спочатку вісь і модель. Це загальні формули класичної механіки, а не розрахунок за стандартами ISO чи API. Вони не описують ступінчастий, лопатевий, шпонковий, паза, ексцентричний або зібраний ротор, якщо реальний розподіл маси не еквівалентний обраній ідеальній формі відносно зазначеної осі.

Контрольовані вхідні дані

Використовуйте документовану масу, коли вона доступна. Довідник щільності призначений лише для однорідної однорідної форми. Зміна одиниці виміру очищує пов'язане з нею числове поле та попередній результат, тому число ніколи не інтерпретується мовчки знову.

Ідеальна форма та вісь

Основа маси

Суцільний циліндр/диск з документованою масою: введіть масу компонента та зовнішній діаметр. Осевий розмір не впливає на J, якщо маса вже документована.

Документована маса компонента m

Зовнішній діаметр D

Ідентифікатор компонента / розрахунку

Джерело геометрії

Джерело маси або щільності та умова

Джерело осі / ідеалізації

Підтвердження моделі є обов’язковим Запитана вісь точно збігається з обраною центроїдальною віссю: поздовжньою віссю симетрії циліндра/диска або діаметром сфери через її центр. Компонент адекватно описується однією однорідною ідеальною формою. Довідник щільності додатково вимагає однорідної щільності та зазначених повних розмірів. Шпонки, лопаті, ступиці, отвори крім обраного концентричного отвору, канавки, отвори, вали, ексцентриситет, кріплення та зміщені осі відсутні або враховуються в окремій контрольованій моделі.

Еталонний результат

Осевий момент інерції маси J

—

Маса компонента

—

Радіус інерції k = √(J/m)

—

Не формується висновок про проходження/непроходження, прискорення, енергію, балансування або безпечну швидкість. Застосовуйте результат лише до документованої осі та ідеалізованого компонента.

Рівняння, одиниці виміру та межі моделі

Момент інерції маси відносно зазначеної нерухомої осі дорівнює J = ∫r⊥²dm, де r⊥ — перпендикулярна відстань від кожного елемента маси до цієї осі. Те саме тіло зазвичай має різну інерцію відносно іншої осі.

Центроїдальні осеві формули, використані тут

суцільний циліндр/диск: Jz = ½mR² · кільцевий циліндр: Jz = ½m(Ro² + Ri²) · суцільна сфера: J = ⅖mR²

R = D/2 та Ri = d/2. Формули для циліндра стосуються лише центральної поздовжньої осі симетрії. Формула для сфери застосовується до діаметра через її центр.

Необов'язковий довідник однорідної щільності

m = ρπR²L · m = ρπ(Ro²−Ri²)L · m = ρ(4πR³/3)

Довідник виводить масу лише для однорідного суцільного/кільцевого циліндра або суцільної сфери. Довжина не входить до осевого J, якщо маса відома, але в режимі щільності вона змінює масу і, відповідно, J.

Точна нормалізація одиниць

Робочий аркуш виконує розрахунки в кг·м² та повідомляє точні виведені еквіваленти. Зокрема, 1 кг·м² = 10⁹ г·мм²; 1 in = 0.0254 m та 1 lbm = 0.45359237 kg точно. Використовується «lbm·ft²», а не неоднозначна позначка «lb·ft²».

Зміщені та складні ротори

Теорема Гюйгенса-Штейнера: J = Jcm + m d⊥², де d⊥ — перпендикулярна відстань між паралельними осями. Це не замінює визначення кінцевої спільної осі. Складні ротори можуть вимагати компонентів матеріалу/порожнин зі знаками, перетворень координат, масових характеристик CAD або прямого вимірювання інерції; цей робочий аркуш не сумує компоненти.

Незалежна опублікована перевірка

У підручнику University Physics (UCF/OpenStax) наведено коаксіальну систему, що складається з диска масою 2.0 кг та радіусом 0.50 м і кільцевого циліндра масою 1.0 кг з внутрішнім/зовнішнім радіусами 0.20/0.30 м; його опублікована сума становить 0.315 кг·м². Два запуски робочого аркуша з документованою масою дають 0.250 кг·м² та 0.065 кг·м², контрольована сума яких відтворює 0.315 кг·м². Це перевіряє формули; це не дозволяє використовувати цей робочий аркуш для одного компонента як загальну модель складання ротора.

Класифікація джерела

Заява	Класифікація	Перевірене джерело
J = ∫r⊥²dm; диск/циліндр ½mR²; сфера ⅖mR²; залежність від осі	Загальна класична механіка; не формула ISO	MIT OCW 8.01L лекція 28, відображена сторінка 2
Порожнистий циліндр ½m(Ro²+Ri²)	Інтегрована однорідна товста циліндрична оболонка	Довідник з інженерної динаміки Університету Іллінойсу
Теорема Гюйгенса-Штейнера J = Jcm + md⊥²	Загальна класична механіка; перпендикулярна відстань між паралельними осями	MIT OCW 8.01L лекція 28, відображена сторінка 2
Перевірка 0,315 кг·м² диск-плюс-порожнистий-циліндр	Приклад з опублікованого університетського підручника	UCF Pressbooks / OpenStax University Physics, розділ 10.4
Основа перерахунку дюйм, фунт-маса та lbm·ft²	Метрологія / перерахунок одиниць	NIST SP 811 Appendix B.8

MIT OCW 8.01L Фізика I, лекція 28 — визначення, умова нерухомої осі, формули для типових форм, залежність від осі та теорема Гюйгенса-Штейнера.
Довідник з інженерної динаміки Університету Іллінойсу, моменти інерції — інтегрування товстої циліндричної оболонки та формула для поздовжнього порожнистого циліндра.
UCF/OpenStax University Physics 10.4 — визначення, залежність від осі та опублікований приклад диск-плюс-порожнистий-циліндр.
NIST SP 811 Appendix B.8 — основа перерахунку дюйм, фунт-маса, фунт-фут-квадрат та фунт-дюйм-квадрат.

Дата доступу: 14 липня 2026 р. Цитована сторінка MIT була відображена та візуально перевірена. Критерій прийняття ISO або API не реалізовано.

Питання, на які ця робоча таблиця не відповідає

Чи це момент інерції мого повного ротора?

Тільки якщо його фактичний розподіл маси відносно зазначеної осі описується цією однією ідеальною однорідною формою. Реальні ротори зазвичай вимагають масових характеристик CAD/FE, контрольованої суми компонентів або прямого вимірювання.

Чи можу я використовувати результат для поперечного згину або кочення?

Ні. Результат для циліндра/диска тут відносно центральної поздовжньої осі обертання. Поперечні моменти містять інші члени радіуса та довжини.

Чому відсутні попередньо задані матеріали?

Густина залежить від контрольованого сплаву, пористості, стану обробки та температури. Введіть значення з фактичної специфікації компонента або запису вимірювань.