संदर्भ वर्कशीट · स्थिर-अक्ष कठोर-पदार्थ मॉडल

समान-आकार अक्षीय द्रव्य-जड़त्व-आघूर्ण वर्कशीट

एक समान आदर्श ठोस बेलन/डिस्क, वलय बेलन, या ठोस गोले के लिए निर्दिष्ट केन्द्रक घूर्णन अक्ष के सापेक्ष द्रव्य जड़त्व आघूर्ण की गणना करें।

J = ∫r⊥²dmदस्तावेजीकृत द्रव्यमान या घनत्व सहायककठोर इकाइयाँकोई स्वीकृति निर्णय नहीं

सबसे पहले अक्ष और मॉडल। ये सामान्य शास्त्रीय-यांत्रिकी सूत्र हैं, ISO या API गणना नहीं। वे किसी सीढ़ीदार, ब्लेड वाले, की वाले, स्लॉट वाले, एक्सेन्ट्रिक या असेंबल्ड रोटर का प्रतिनिधित्व नहीं करते जब तक कि वास्तविक द्रव्यमान वितरण वास्तव में निर्दिष्ट अक्ष के सापेक्ष चयनित आदर्श आकार के समतुल्य न हो।

नियंत्रित इनपुट

जब उपलब्ध हो तो दस्तावेजीकृत द्रव्यमान का उपयोग करें। घनत्व सहायक केवल एक समान समघात आकार के लिए है। इकाई बदलने पर उसका युग्मित संख्यात्मक क्षेत्र और पिछला परिणाम साफ़ हो जाता है, इसलिए कोई संख्या कभी चुपचाप पुनर्व्याख्या नहीं की जाती।

आदर्श आकार और अक्ष

द्रव्यमान आधार

दस्तावेजीकृत-द्रव्यमान ठोस बेलन/डिस्क: घटक द्रव्यमान और बाह्य व्यास दर्ज करें। एक बार द्रव्यमान दस्तावेजीकृत होने पर अक्षीय लंबाई J में शामिल नहीं होती।

दस्तावेजीकृत घटक द्रव्यमान m

बाह्य व्यास D

घटक / गणना ID

ज्यामिति स्रोत

द्रव्यमान या घनत्व स्रोत और शर्त

अक्ष / आदर्शीकरण स्रोत

आवश्यक मॉडल पुष्टि अनुरोधित अक्ष ठीक वही चयनित केन्द्रक अक्ष है: बेलन/डिस्क का अनुदैर्ध्य सममिति अक्ष या उसके केंद्र से गुजरने वाला गोले का व्यास। घटक का प्रतिनिधित्व एक समान आदर्श आकार द्वारा पर्याप्त रूप से किया गया है। घनत्व सहायक के लिए अतिरिक्त रूप से समघात घनत्व और निर्दिष्ट पूर्ण आयामों की आवश्यकता होती है। की, ब्लेड, हब, चयनित सहकेंद्रीय बोर के अलावा अन्य बोर, खांचे, छेद, शफ़्ट, एक्सेन्ट्रिसिटी, संलग्नक और ऑफसेट अक्ष अनुपस्थित हैं या एक अलग नियंत्रित मॉडल में संभाले गए हैं।

संदर्भ परिणाम

अक्षीय द्रव्य जड़त्व आघूर्ण J

—

घटक द्रव्यमान

—

घूर्णन त्रिज्या k = √(J/m)

—

कोई पास/फेल, त्वरण, ऊर्जा, बैलेंसिंग या सुरक्षित-गति निष्कर्ष उत्पन्न नहीं होता। परिणाम का अनुप्रयोग केवल दस्तावेजीकृत अक्ष और आदर्शीकृत घटक पर करें।

समीकरण, इकाइयाँ और मॉडल सीमा

एक निर्दिष्ट स्थिर अक्ष के सापेक्ष द्रव्य जड़त्व आघूर्ण है J = ∫r⊥²dm, जहाँ r⊥ प्रत्येक द्रव्यमान तत्व से उस अक्ष तक की लंबवत दूरी है। एक ही पिंड का आमतौर पर एक अलग अक्ष के सापेक्ष अलग जड़त्व होता है।

यहाँ उपयोग किए गए केन्द्रक अक्षीय सूत्र

ठोस बेलन/डिस्क: Jz = ½mR² · वलय बेलन: Jz = ½m(Ro² + Ri²) · ठोस गोला: J = ⅖mR²

R = D/2 और Ri = d/2। बेलन सूत्र केवल केंद्रीय अनुदैर्ध्य सममिति अक्ष के लिए हैं। गोले का सूत्र उसके केंद्र से गुजरने वाले व्यास पर लागू होता है।

वैकल्पिक समान-घनत्व सहायक

m = ρπR²L · m = ρπ(Ro²−Ri²)L · m = ρ(4πR³/3)

सहायक केवल एक समघात पूर्ण ठोस/वलय बेलन या ठोस गोले के लिए द्रव्यमान उत्पन्न करता है। एक बार द्रव्यमान ज्ञात होने पर अक्षीय J में लंबाई नहीं आती, लेकिन घनत्व मोड में यह द्रव्यमान और इसलिए J को बदल देती है।

सटीक इकाई सामान्यीकरण

वर्कशीट kg·m² में गणना करती है और सटीक उत्पन्न समतुल्य रिपोर्ट करती है। विशेष रूप से, 1 kg·m² = 10⁹ g·mm²; 1 in = 0.0254 m और 1 lbm = 0.45359237 kg बिल्कुल। “lbm·ft²” का उपयोग किया जाता है, अस्पष्ट लेबल “lb·ft²” का नहीं।

ऑफसेट और संयुक्त रोटर

समांतर-अक्ष प्रमेय J = Jcm + m d⊥² है, जहाँ d⊥ समांतर अक्षों के बीच की लंबवत दूरी है। यह अंतिम सामान्य अक्ष को परिभाषित करने का विकल्प नहीं है। संयुक्त रोटर के लिए चिह्नित पदार्थ/शून्य घटक, निर्देशांक रूपांतरण, CAD द्रव्यमान गुण या प्रत्यक्ष जड़त्व मापन की आवश्यकता हो सकती है; यह वर्कशीट घटकों को जोड़ती नहीं है।

स्वतंत्र प्रकाशित जाँच

यूनिवर्सिटी फिजिक्स (UCF/OpenStax) एक सहअक्षीय प्रणाली देता है जिसमें 2.0 kg, 0.50 m-त्रिज्या वाली डिस्क और 0.20/0.30 m आंतरिक/बाह्य त्रिज्याओं वाला 1.0 kg वलय बेलन शामिल है; इसका प्रकाशित कुल 0.315 kg·m² है। दो दस्तावेजीकृत-द्रव्यमान वर्कशीट रन 0.250 kg·m² और 0.065 kg·m² देते हैं, जिनका नियंत्रित योग 0.315 kg·m² को पुन: उत्पन्न करता है। यह सूत्रों की जाँच करता है; यह इस एकल-घटक वर्कशीट को सामान्य रोटर असेंबली मॉडल के रूप में उपयोग करने की अनुमति नहीं देता।

स्रोत वर्गीकरण

दावा	वर्गीकरण	परीक्षित स्रोत
J = ∫r⊥²dm; डिस्क/सिलिंडर ½mR²; गोला ⅖mR²; अक्ष निर्भरता	सामान्य शास्त्रीय यांत्रिकी; कोई ISO सूत्र नहीं	MIT OCW 8.01L व्याख्यान 28, प्रस्तुत पृष्ठ 2
वलय सिलिंडर ½m(Ro²+Ri²)	एकसमान मोटे बेलनाकार छलके का समाकलन	यूनिवर्सिटी ऑफ़ इलिनॉइस इंजीनियरिंग डायनेमिक्स संदर्भ
समानांतर-अक्ष J = Jcm + md⊥²	सामान्य शास्त्रीय यांत्रिकी; समानांतर अक्षों के बीच लंबवत पृथक्करण	MIT OCW 8.01L व्याख्यान 28, प्रस्तुत पृष्ठ 2
0.315 kg·m² डिस्क-प्लस-वलय जाँच	प्रकाशित विश्वविद्यालय पाठ्यपुस्तक उदाहरण	UCF Pressbooks / OpenStax University Physics, खंड 10.4
इंच, पाउंड-द्रव्यमान और lbm·ft² रूपांतरण आधार	मापविज्ञान / इकाई रूपांतरण	NIST SP 811 Appendix B.8

MIT OCW 8.01L भौतिकी I, व्याख्यान 28 — परिभाषा, स्थिर-अक्ष शर्त, सामान्य-आकार सूत्र, अक्ष निर्भरता और समानांतर-अक्ष प्रमेय।
यूनिवर्सिटी ऑफ़ इलिनॉइस इंजीनियरिंग डायनेमिक्स संदर्भ, जड़त्व आघूर्ण — मोटे बेलनाकार छलके का समाकलन और अक्षीय वलय-सिलिंडर सूत्र।
UCF/OpenStax University Physics 10.4 — परिभाषा, अक्ष निर्भरता और प्रकाशित डिस्क-प्लस-वलय-सिलिंडर उदाहरण।
NIST SP 811 Appendix B.8 — इंच, पाउंड-द्रव्यमान, पाउंड-फुट-वर्ग और पाउंड-इंच-वर्ग रूपांतरण आधार।

प्राप्ति तिथि: 14 जुलाई 2026। उद्धृत MIT पृष्ठ को प्रस्तुत और दृश्य रूप से निरीक्षित किया गया था। कोई ISO या API स्वीकृति मानदंड लागू नहीं है।

वे प्रश्न जिनका उत्तर इस वर्कशीट द्वारा नहीं दिया जाता

क्या यह मेरे पूर्ण रोटर का जड़त्व आघूर्ण है?

केवल तभी यदि उक्त अक्ष के सापेक्ष इसका वास्तविक द्रव्यमान वितरण इस एक आदर्श एकसमान आकार द्वारा निरूपित हो। वास्तविक रोटरों के लिए अक्सर CAD/FE द्रव्यमान गुण, नियंत्रित घटक योग या प्रत्यक्ष मापन की आवश्यकता होती है।

क्या मैं परिणाम का उपयोग अनुप्रस्थ बंकन या झूलने के लिए कर सकता हूँ?

नहीं। यहाँ सिलिंडर/डिस्क परिणाम केंद्रीय अनुदैर्ध्य घूर्णन अक्ष के सापेक्ष है। अनुप्रस्थ आघूर्णों में अलग-अलग त्रिज्या और लंबाई पद होते हैं।

सामग्री पूर्व-सेटिंग्स अनुपस्थित क्यों हैं?

घनत्व नियंत्रित मिश्र धातु, छिद्रता, प्रसंस्करण अवस्था और तापमान पर निर्भर करता है। वास्तविक घटक विशिष्टता या मापन रिकॉर्ड से एक मान दर्ज करें।

Uniform-Shape Axial Mass-Inertia Worksheet