Справочный рабочий лист · модель абсолютно твёрдого тела с фиксированной осью

Рабочий лист: осевой момент инерции массы тела правильной формы

Расчёт момента инерции массы относительно указанной центральной оси вращения для одного однородного идеального сплошного цилиндра/диска, полого цилиндра или сплошного шара.

J = ∫r⊥²dmдокументированная масса или вспомогательный расчёт по плотностистрогие единицыбез вывода о приёмке

Сначала ось и модель. Это общие формулы классической механики, а не расчёт по стандартам ISO или API. Они не описывают ступенчатый, лопаточный, шпоночный, прорезной, эксцентричный или сборный ротор, если только реальное распределение массы не эквивалентно выбранной идеальной форме относительно указанной оси.

Контролируемые входные данные

Используйте документированную массу, если она доступна. Вспомогательный расчёт по плотности предназначен только для однородной формы. Изменение единицы измерения очищает связанное числовое поле и предыдущий результат, поэтому число никогда не переинтерпретируется молча.

Идеальная форма и ось

Основа расчёта массы

Сплошной цилиндр/диск с документированной массой: введите массу компонента и наружный диаметр. Продольная длина не входит в расчёт J, если масса уже документирована.

Документированная масса компонента m

Наружный диаметр D

Идентификатор компонента / расчёта

Источник геометрии

Источник массы или плотности и условия

Источник оси / идеализации

Требуется подтверждение модели Запрошенная ось точно совпадает с выбранной центральной осью: продольной осью симметрии цилиндра/диска или диаметром шара, проходящим через его центр. Компонент адекватно представлен одной однородной идеальной формой. Вспомогательный расчёт по плотности дополнительно требует однородной плотности и указанных полных размеров. Шпонки, лопатки, ступицы, отверстия, отличные от выбранного концентрического отверстия, канавки, отверстия, валы, эксцентриситет, крепления и смещённые оси отсутствуют или учитываются в отдельной контролируемой модели.

Эталонный результат

Осевая момент инерции массы J

—

Масса компонента

—

Радиус инерции k = √(J/m)

—

Не производится вывод о приёмке/отбраковке, ускорении, энергии, балансировке или безопасной скорости. Применяйте результат только к документированной оси и идеализированному компоненту.

Уравнения, единицы измерения и границы модели

Момент инерции массы относительно указанной фиксированной оси равен J = ∫r⊥²dm, где r⊥ — перпендикулярное расстояние от каждого элемента массы до этой оси. Одно и то же тело, как правило, имеет разный момент инерции относительно другой оси.

Используемые здесь центральные осевые формулы

сплошной цилиндр/диск: Jz = ½mR² · полой цилиндр: Jz = ½m(Ro² + Ri²) · сплошной шар: J = ⅖mR²

R = D/2 и Ri = d/2. Формулы для цилиндра применимы только к центральной продольной оси симметрии. Формула для шара применяется к диаметру, проходящему через его центр.

Необязательный вспомогательный расчёт по однородной плотности

m = ρπR²L · m = ρπ(Ro²−Ri²)L · m = ρ(4πR³/3)

Вспомогательный расчёт определяет массу только для однородного сплошного/полого цилиндра или сплошного шара. Длина не входит в осевой момент инерции J, если масса известна, но в режиме расчёта по плотности она изменяет массу и, следовательно, J.

Точная нормализация единиц

Рабочий лист выполняет расчёты в кг·м² и выводит точные производные эквиваленты. В частности, 1 кг·м² = 10⁹ г·мм²; 1 in = 0,0254 м и 1 lbm = 0,45359237 кг точно. Используется обозначение «lbm·ft²», а не неоднозначное «lb·ft²».

Смещённые и составные роторы

Теорема Гюйгенса-Штейнера: J = Jcm + m d⊥², где d⊥ — перпендикулярное расстояние между параллельными осями. Это не заменяет определение итоговой общей оси. Для составных роторов могут потребоваться компоненты материала/пустот со знаками, преобразования координат, массовые свойства из CAD или прямое измерение момента инерции; данный рабочий лист не суммирует компоненты.

Независимая опубликованная проверка

В учебнике University Physics (UCF/OpenStax) приводится соосная система, состоящая из диска массой 2,0 кг и радиусом 0,50 м и полого цилиндра массой 1,0 кг с внутренним/наружным радиусами 0,20/0,30 м; опубликованное общее значение составляет 0,315 кг·м². Два расчёта в рабочем листе с документированной массой дают 0,250 кг·м² и 0,065 кг·м², чья контролируемая сумма воспроизводит 0,315 кг·м². Это проверяет формулы; это не разрешает использовать данный рабочий лист для одного компонента как общую модель сборки ротора.

Классификация источника

Утверждение	Классификация	Проверенный источник
J = ∫r⊥²dm; диск/цилиндр ½mR²; сфера ⅖mR²; зависимость от оси	Общая классическая механика; не формула ISO	MIT OCW 8.01L лекция 28, отрендеренная страница 2
Полый цилиндр ½m(Ro²+Ri²)	Интегрированная однородная толстостенная цилиндрическая оболочка	Справочник по инженерной динамике Университета Иллинойса
Теорема о параллельных осях J = Jcm + md⊥²	Общая классическая механика; перпендикулярное расстояние между параллельными осями	MIT OCW 8.01L лекция 28, отрендеренная страница 2
Проверка 0,315 кг·м² диск плюс кольцо	Пример из опубликованного университетского учебника	UCF Pressbooks / OpenStax University Physics, раздел 10.4
Основа преобразования дюймов, фунтов-массы и lbm·ft²	Метрология / преобразование единиц	NIST SP 811 Appendix B.8

MIT OCW 8.01L Physics I, лекция 28 — определение, условие фиксированной оси, формулы для типичных форм, зависимость от оси и теорема о параллельных осях.
Справочник по инженерной динамике Университета Иллинойса, моменты инерции — интегрирование толстостенной цилиндрической оболочки и формула для осевого полого цилиндра.
UCF/OpenStax University Physics 10.4 — определение, зависимость от оси и опубликованный пример диска плюс полого цилиндра.
NIST SP 811 Appendix B.8 — основа преобразования дюймов, фунтов-массы, фунт-фут-квадрат и фунт-дюйм-квадрат.

Доступ: 14 июля 2026 г. Указанная страница MIT была отрендерена и визуально проверена. Критерий приемки ISO или API не реализован.

Вопросы, на которые этот рабочий лист не отвечает

Это момент инерции моего полного ротора?

Только если его фактическое распределение массы относительно указанной оси представлено этой одной идеальной однородной формой. Для реальных роторов обычно требуются свойства массы CAD/FE, контролируемая сумма компонентов или прямое измерение.

Могу ли я использовать результат для поперечного изгиба или качания?

Нет. Результат для цилиндра/диска здесь относится к центральной продольной оси вращения. Поперечные моменты содержат другие члены радиуса и длины.

Почему отсутствуют пресеты материалов?

Плотность зависит от контролируемого сплава, пористости, состояния обработки и температуры. Введите значение из спецификации фактического компонента или протокола измерений.