Еталонна робоча таблиця · статична модель балки
Робоча таблиця прогину балки на двох опорах / суцільного вала
Розрахувати переміщення в середині прольоту при малих прогинах для однорідної призматичної балки Ейлера–Бернуллі на двох простих опорах під дією рівномірного навантаження на весь проліт та зосередженого навантаження, розташованого точно в середині прольоту.
Контрольовані вхідні дані
Використовуйте пряму модель, коли E, I та навантаження вже задокументовані. Використовуйте допоміжний інструмент лише для однорідного суцільного круглого вала, вага якого представлена рівномірним лінійним навантаженням. Зміна одиниці вимірювання очищує відповідне числове поле та попередній результат, тому існуюче число ніколи не інтерпретується мовчки знову.
Еталонний результат
Рівняння та розмірні обмеження
Для балки на двох опорах із постійним EI рівномірне лінійне навантаження q, спрямоване вниз, на весь проліт та зосереджене навантаження F, спрямоване вниз, у центрі, суперпонуються:
q має розмірність сила/довжина, E має силу/площа, а I має довжина⁴. Кожен частка, отже, має розмірність довжини. Для невід’ємних симетричних навантажень вказане місце — це середина прольоту, і це максимальний прогин, спрямований вниз, у межах цієї ідеальної моделі.
Допоміжний розрахунок для однорідного суцільного вала
Допоміжний розрахунок використовує густину маси, а не густину ваги. Для складової власної ваги, підстановка A та I дає δself = 5ρg₀L⁴/(24Ed²). Отже, прогин від власної ваги змінюється пропорційно 1/d², тоді як внесок від центральної сили — пропорційно 1/d⁴. Збільшення d з 50 мм до 60 мм зменшує ці складові на 30,56% та 51,77% відповідно — це не єдиний універсальний відсоток.
Що виключено
Ступінчасті або порожнисті вали, виступи, диски в довільних місцях, кілька навантажень, неоднорідні E/I, реальна жорсткість підшипників, деформація зсуву, локальне тяжіння, тепловий прогин, залишкові напруження, попередній натяг при збірці, контакт, пластичність, великі переміщення, пом'якшення/упорцювання при обертанні, гіроскопічні ефекти та роторно-динамічна відповідь не входять до цього розрахунку. Використовуйте модель балки/МКЕ/роторної динаміки, що враховує ці особливості.
Незалежна опублікована перевірка
Навчальний приклад Міссурійського університету науки і технології повідомляє про випадок простої балки з рівномірним навантаженням: q = 3 kip/ft, L = 10 ft, E = 29,000.02 ksi та I = 984 in⁴. Введіть еквівалентні прямі вхідні дані: q = 250 lbf/in, L = 120 in, E = 29,000.02 ksi, I = 984 in⁴ та F = 0. Розрахунок повинен відтворити приблизно 0.02365 in (23.65 mil). Це перевірка формули, а не твердження про допустимий прогин.
Класифікація джерела
| Заява | Класифікація | Джерело |
|---|---|---|
| 5qL⁴/(384EI), рівномірне навантаження на всю довжину простої балки | Загальне рішення для балки Ейлера–Бернуллі; не є формулою ISO | Конспекти MIT OCW 2.082; таблиця формул MIT OCW 1.050 |
| FL³/(48EI), центральне зосереджене навантаження | Загальне рішення для балки Ейлера–Бернуллі; не є формулою ISO | Лекція 3 MIT OCW 2.72 / курс вібрацій NPTEL |
| I = π(dₒ⁴−dᵢ⁴)/64 | Геометричний момент інерції відносно центроїдального діаметра | Лекція 3 MIT OCW 2.72 |
| Лінійна суперпозиція | Умовна робота моделі | Лекція 3 MIT OCW 2.72 стверджує припущення про лінійність, незалежність навантажень та малі зміни геометрії |
| g₀ та коефіцієнти одиниць | Звичайна метрологія / точні визначення | Резолюція 3-2 CGPM BIPM; додаток B NIST SP 811 |
- MIT OCW 2.082, Структурний аналіз та проектування кораблів, нотатки щодо втрати стійкості — сторінка 1 містить вираз максимального прогину для простої балки з рівномірним навантаженням.
- MIT OCW 2.72, Основи механічного проектування, лекція 3 — переміщення від центрального навантаження, момент інерції I для круглого перерізу та припущення суперпозиції.
- MIT OCW 1.050, Механіка твердого тіла, набір задач 11 — таблиця формул переміщення балки.
- Міссурійський університет науки і технології, лабораторія комп'ютерного моделювання — опублікована числова перевірка рівномірного навантаження.
- BIPM, Резолюція 2 третього CGPM — звичайне стандартне тяжіння 9.80665 м/с² та розрізнення маси/ваги.
- NIST SP 811 Appendix B.8 — основа перетворення дюймів, фунтів та фунт-сили.
Дата доступу: 14 липня 2026 р. Використані вище PDF-сторінки MIT були відтворені та візуально перевірені під час аудиту.
Питання, на які ця робоча таблиця не відповідає
Який прогин вала є допустимим?
Не існує універсального обмеження 25–50 мкм, 0,1 мм або «10% зазору підшипника», яке ця сторінка могла б безпечно застосовувати. Прийняття залежить від фактичного підшипника, ущільнення, муфти, геометрії ротора, випадку навантаження, робочого стану, визначення вимірювання та контрольованих вимог обладнання/проекту.
Чи є статичний прогин тим самим, що й биття або вібрація 1×?
Ні. Статична пружна деформація, вказане биття та синхронна вібрація — це різні величини. Універсальне правило «TIR = 2 × прогин» або «прогин створює вібрацію 1×» тут не використовується; має бути визначено налаштування вимірювання та модель обертової системи.
Чи завжди збільшення діаметра дає зменшення в четвертому степені?
Ні. За фіксованого зовнішнього q або F, момент інерції I визначає залежність у четвертому степені для суцільного круга. Коли q само є власною вагою вала, q зростає пропорційно d², тому отриманий прогин від власної ваги змінюється як 1/d². Для змішаних навантажень не існує єдиного степеня діаметра.
