Referensarbetsblad · statisk balkmodell
Arbetsblad för nedböjning av enkelt upplagd balk / massiv axel
Beräkna den lilla nedböjningens mittspänningsförskjutning för en enhetlig, prismatisk, enkelt upplagd Euler–Bernoulli-balk under en enhetlig last över hela spännvidden och en punktlast placerad exakt i mitten.
Kontrollerade indata
Använd den direkta modellen när E, I och belastning redan är dokumenterade. Använd hjälpen endast för en enhetlig massiv cirkulär axel vars egen vikt representeras av en enhetlig linjelast. Att ändra en enhet rensar dess kopplade numeriska fält och det tidigare resultatet, så ett befintligt tal tolkas aldrig tyst om.
Referensresultat
Ekvationer och dimensionell gräns
För en enkelt upplagd balk med konstant EI superponeras en nedåtriktad enhetlig linjelast q över hela spännvidden och en nedåtriktad mittpunktlast F:
q har dimensionen kraft/längd, E har kraft/area och I har längd⁴. Varje kvot har därför dimensionen längd. För icke-negativa symmetriska laster är den rapporterade platsen mittspann och är den maximala nedåtriktade nedböjningen inom denna ideala modell.
Valfri hjälp för enhetlig massiv axel
Hjälpen använder massdensitet, inte tyngddensitet. För dess egen vikts term ger substitution av A och I δself = 5ρg₀L⁴/(24Ed²). Således skalar egen vikts nedböjning som 1/d², medan bidraget från mittkraften skalar som 1/d⁴. Att öka d från 50 mm till 60 mm minskar dessa termer med 30,56 % respektive 51,77 % – inte en universell procentandel.
Vad som utesluts
Trappade eller ihåliga axlar, överhäng, skivor i godtyckliga positioner, flera laster, icke-enhetslig E/I, verklig lagerstyvhet, skjuvförformning, lokal tyngdkraft, termisk böjning, restspänning, monteringens förspänning, kontakt, plasticitet, stora förskjutningar, varvtalsberoende styvhetsförändring (spin softening/stiffening), gyroskopiska effekter och rotordynamisk respons ingår inte i detta kalkylark. Använd en balk-/FE-/rotordynamisk modell som representerar dessa egenskaper.
Oberoende publicerad kontroll
Ett undervisningsexempel från Missouri University of Science and Technology redovisar ett fall med en enkelt upplagd balk med enhetlig last där q = 3 kip/ft, L = 10 ft, E = 29 000,02 ksi och I = 984 in⁴. Ange motsvarande direkta indata q = 250 lbf/in, L = 120 in, E = 29 000,02 ksi, I = 984 in⁴ och F = 0. Kalkylarket ska återge ungefär 0,02365 in (23,65 mil). Detta är en formelkontroll, inte ett påstående om tillåten nedböjning.
Källklassificering
| Påstående | Klassificering | Källa |
|---|---|---|
| 5qL⁴/(384EI), enkelt upplagd enhetlig last över hela spannet | Allmän Euler–Bernoulli-balklösning; inte en ISO-formel | MIT OCW 2.082 anteckningar; MIT OCW 1.050 formelblad |
| FL³/(48EI), punktlast i mitten | Allmän Euler–Bernoulli-balklösning; inte en ISO-formel | MIT OCW 2.72 föreläsning 3 / NPTEL vibrationskurs |
| I = π(dₒ⁴−dᵢ⁴)/64 | Geometriskt tröghetsmoment kring en tyngdpunktsdiameter | MIT OCW 2.72 föreläsning 3 |
| Linjär superposition | Villkorad modellhantering | MIT OCW 2.72 föreläsning 3 anger antaganden om linearitet, lastoberoende och små geometriska förändringar |
| g₀ och enhetsfaktorer | Konventionell metrologi / exakta definitioner | BIPM CGPM Resolution 3-2; NIST SP 811 Appendix B |
- MIT OCW 2.082, Ship Structural Analysis & Design, knäckningsanteckningar — sida 1 visar uttrycket för maximal nedböjning vid enkelt upplagd enhetlig last.
- MIT OCW 2.72, Elements of Mechanical Design, föreläsning 3 — förskjutning vid mittlast, tröghetsmoment I för cirkulärt tvärsnitt och antaganden om superposition.
- MIT OCW 1.050, Solid Mechanics, Problem Set 11 — formelblad för balkförskjutning.
- Missouri S&T, Computer Modeling lab — publicerad numerisk kontroll av enhetlig last.
- BIPM, 3rd CGPM Resolution 2 — konventionell standardtyngd 9,80665 m/s² och distinktionen mellan massa och vikt.
- NIST SP 811 Bilaga B.8 — grundval för omvandling av tum, pund och pund-kraft.
Åtkomst: 14 juli 2026. De MIT-PDF-sidor som används ovan renderades och kontrollerades visuellt under revisionen.
Frågor som detta kalkylark inte besvarar
Vilken axelnedböjning är acceptabel?
Det finns ingen universell gräns på 25–50 μm, 0,1 mm eller ”10 % av lagerspelet” som denna sida kan tillämpa säkert. Acceptans beror på det faktiska lagret, tätningen, kopplingen, rotorgeometrin, lastfallet, drifttillståndet, mätningsdefinitionen och kontrollerade utrustnings-/projektkrav.
Är statisk sänkning samma sak som kast eller 1×-vibration?
Nej. Statisk elastisk nedböjning, angivet kast och synkron vibration är olika storheter. En universell regel om ”TIR = 2 × sänkning” eller ”sänkning ger upphov till 1×-vibration” används inte här; mätsättningen och modellen för roterande system måste definieras.
Ger en ökning av diametern alltid en fjärdepotensreduktion?
Nej. Vid fast extern q eller F styr I en fjärdepotensberoende för en massiv cirkel. När q själv är axelns egen vikt växer q med d², så den resulterande sänkningen på grund av egen vikt varierar som 1/d². Blandade laster har inget enskilt diameterexponent.
