Эталонный рабочий лист · статическая модель балки
Рабочий лист прогиба балки на двух опорах / сплошного вала
Рассчитайте перемещение в середине пролёта при малом прогибе однородной призматической балки Эйлера–Бернулли на двух простых опорах под действием равномерно распределённой нагрузки на весь пролёт и сосредоточенной нагрузки, расположенной точно в середине пролёта.
Контролируемые входные данные
Используйте прямую модель, когда E, I и нагрузка уже документированы. Используйте вспомогательный инструмент только для однородного сплошного круглого вала, собственный вес которого представлен равномерно распределённой линейной нагрузкой. Изменение единицы измерения очищает связанное числовое поле и предыдущий результат, поэтому существующее число никогда не переосмысливается молча.
Эталонный результат
Уравнения и размерные границы
Для балки с постоянным EI на двух простых опорах равномерно распределённая линейная нагрузка q, направленная вниз, на весь пролёт и сосредоточенная нагрузка F, направленная вниз, в центре, суперпозируются:
q имеет размерность сила/длина, E имеет сила/площадь, а I имеет длина⁴. Следовательно, каждый частный имеет размерность длина. Для неотрицательных симметричных нагрузок указанное местоположение — середина пролёта, и это максимальный прогиб вниз в рамках этой идеальной модели.
Дополнительный расчёт для сплошного вала постоянного сечения
Вспомогательный расчёт использует плотность массы, а не плотность веса. Для члена собственного веса подстановка A и I даёт δself = 5ρg₀L⁴/(24Ed²). Таким образом, прогиб от собственного веса масштабируется как 1/d², тогда как вклад центральной силы масштабируется как 1/d⁴. Увеличение d с 50 мм до 60 мм уменьшает эти члены на 30,56% и 51,77% соответственно — не на одну универсальную величину.
Что исключено
Ступенчатые или полые валы, консольные участки, диски в произвольных положениях, множественные нагрузки, неоднородные E/I, реальная жёсткость подшипников, деформации сдвига, локальное ускорение свободного падения, температурный прогиб, остаточные напряжения, предварительная затяжка сборки, контакт, пластичность, большие перемещения, размягчение/упрочнение при вращении, гироскопические эффекты и роторно-динамический отклик не входят в этот рабочий лист. Используйте балочную/МКЭ/роторно-динамическую модель, учитывающую эти особенности.
Независимая опубликованная проверка
Учебный пример Университета науки и технологий Миссури приводит случай равномерно распределённой нагрузки на балку с простыми опорами с q = 3 kip/ft, L = 10 ft, E = 29,000.02 ksi и I = 984 in⁴. Введите эквивалентные прямые входные данные q = 250 lbf/in, L = 120 in, E = 29,000.02 ksi, I = 984 in⁴ и F = 0. Рабочий лист должен воспроизвести приблизительно 0.02365 in (23.65 mil). Это проверка формулы, а не утверждение о допустимом прогибе.
Классификация источника
| Утверждение | Классификация | Источник |
|---|---|---|
| 5qL⁴/(384EI), равномерно распределённая нагрузка на всю длину балки с простыми опорами | Общее решение для балки Эйлера–Бернулли; не формула ISO | Конспекты MIT OCW 2.082; таблица формул MIT OCW 1.050 |
| FL³/(48EI), сосредоточенная нагрузка в центре | Общее решение для балки Эйлера–Бернулли; не формула ISO | Лекция 3 курса MIT OCW 2.72 / курс вибраций NPTEL |
| I = π(dₒ⁴−dᵢ⁴)/64 | Геометрический момент инерции относительно центрального диаметра | Лекция 3 курса MIT OCW 2.72 |
| Линейная суперпозиция | Условия работы модели | Лекция 3 курса MIT OCW 2.72 утверждает предположения о линейности, независимости нагрузок и малом изменении геометрии |
| g₀ и коэффициенты единиц | Установившаяся метрология / точные определения | Резолюция 3-2 CGPM BIPM; Приложение B NIST SP 811 |
- MIT OCW 2.082, Анализ и проектирование судовых конструкций, заметки о потере устойчивости — страница 1 показывает выражение максимального прогиба для равномерно распределённой нагрузки на балку с простыми опорами.
- MIT OCW 2.72, Основы механического проектирования, лекция 3 — перемещение от центральной нагрузки, момент инерции I для круглого сечения и предположения о суперпозиции.
- MIT OCW 1.050, Механика твёрдого тела, Набор задач 11 — таблица формул перемещения балки.
- Университет науки и технологий Миссури, лаборатория компьютерного моделирования — опубликованная численная проверка для равномерно распределённой нагрузки.
- BIPM, Резолюция 2 3-го CGPM — установившееся стандартное ускорение свободного падения 9.80665 м/с² и различие между массой и весом.
- NIST SP 811 Appendix B.8 — основа преобразования дюймов, фунтов и фунт-силы.
Доступ: 14 июля 2026 г. Страницы PDF MIT, использованные выше, были отрендерены и визуально проверены в ходе аудита.
Вопросы, на которые этот рабочий лист не отвечает
Какой прогиб вала является допустимым?
Не существует универсального предела 25–50 мкм, 0,1 мм или «10% зазора в подшипнике», который эта страница могла бы безопасно применить. Приемлемость зависит от фактического подшипника, уплотнения, муфты, геометрии ротора, случая нагружения, рабочего состояния, определения измерения и контролируемых требований к оборудованию/проекту.
Является ли статический прогиб тем же, что и биение или вибрация 1×?
Нет. Статический упругий прогиб, указанное биение и синхронная вибрация — это разные величины. Универсальное правило «TIR = 2 × прогиб» или «прогиб вызывает вибрацию 1×» здесь не используется; должна быть определена измерительная установка и модель вращающейся системы.
Всегда ли увеличение диаметра даёт уменьшение в четвёртой степени?
Нет. При фиксированных внешних q или F момент инерции I определяет зависимость в четвёртой степени для сплошного круга. Когда q само является собственным весом вала, q растёт как d², поэтому результирующий прогиб от собственного веса изменяется как 1/d². Смешанные нагрузки не имеют единого показателя степени диаметра.
