Referenzarbeitsblatt · statisches Balkenmodell
Arbeitsblatt zur Berechnung der Durchbiegung eines einfach gelagerten Balkens / festen Wellenabschnitts
Berechnen Sie die mittlere Durchbiegung eines einheitlichen, prismatischen, einfach gelagerten Euler-Bernoulli-Balkens unter einer gleichmäßig verteilten Last über die gesamte Spannweite und einer Punktlast, die genau in der Mitte liegt.
Kontrollierte Eingaben
Verwenden Sie das direkte Modell, wenn E, I und die Belastung bereits dokumentiert sind. Verwenden Sie den Helfer nur für einen einheitlichen festen runden Wellenabschnitt, dessen Eigengewicht durch eine gleichmäßig verteilte Linienlast dargestellt wird. Ändern Sie eine Einheit, löscht dies das zugehörige numerische Feld und das vorherige Ergebnis, sodass eine vorhandene Zahl niemals stillschweigend neu interpretiert wird.
Referenzergebnis
Gleichungen und dimensionsale Grenzen
Für einen konstanten E-I-einfach gelagerten Balken werden eine nach unten gerichtete gleichmäßig verteilte Linienlast q über die gesamte Spannweite und eine nach unten gerichtete Mittelpunktlast F superponiert:
q hat die Dimension Kraft/Länge, E hat Kraft/Fläche, und I hat Länge⁴. Jedes Quotient hat daher die Dimension Länge. Bei nichtnegativen symmetrischen Lasten ist der gemeldete Standort die Mitte und die maximale nach unten gerichtete Verformung innerhalb dieses idealisierten Modells.
Optionale Hilfe für gleichförmige massive Wellen
Die Hilfe verwendet die Massendichte, nicht die Gewichtsdichte. Für den Eigengewichtsterm ergibt sich durch die Substitution von A und I δself = 5ρg₀L⁴/(24Ed²). Die Eigengewichtsverformung skaliert also als 1/d², während der Beitrag der Zentralelastkraft als 1/d⁴ skaliert. Eine Erhöhung von d von 50 mm auf 60 mm reduziert diese Terme um 30.56% und 51.77% jeweils – nicht ein universeller Prozentsatz.
Was ausgeschlossen ist
Stufen- oder hohle Wellen, Überhänge, Scheiben an beliebigen Positionen, mehrere Lasten, nicht-uniformes E/I, reale Lagersteifigkeit, Schubverformung, lokale Gravitation, thermische Krümmung, Restspannungen, Montagevorbelastung, Kontakt, Plastizität, große Verformung, Rotationsweichheit/-Steifigkeit, gyroskopische Effekte und rotordynamische Reaktion liegen außerhalb dieses Arbeitsblatts. Verwenden Sie ein Strahlfiniten-/Rotordynamisches Modell, das diese Merkmale abbildet.
Unabhängige veröffentlichte Überprüfung
Ein Beispiel der Missouri University of Science and Technology berichtet über einen Fall einer einfach gestützten gleichförmigen Last mit q = 3 kip/ft, L = 10 ft, E = 29,000.02 ksi und I = 984 in⁴. Geben Sie die äquivalenten direkten Eingaben q = 250 lbf/in, L = 120 in, E = 29,000.02 ksi, I = 984 in⁴ und F = 0 ein. Das Arbeitsblatt sollte etwa 0.02365 in (23.65 mil) reproduzieren. Dies ist eine Formelprüfung, keine zulässige Verformungserklärung.
Quellenkategorisierung
| Behauptung | Einstufung | Quelle |
|---|---|---|
| 5qL⁴/(384EI), einfach gestützte gleichförmige Last über die gesamte Spanne | Allgemeine Euler-Bernoulli-Strahl-Lösung; keine ISO-Formel | MIT OCW 2.082 Notizen; MIT OCW 1.050 Formelsammlung |
| FL³/(48EI), zentrale Punktlast | Allgemeine Euler-Bernoulli-Strahl-Lösung; keine ISO-Formel | MIT OCW 2.72 Vorlesung 3 / NPTEL Vibrationen-Kurs |
| I = π(dₒ⁴−dᵢ⁴)/64 | Geometrisches zweites Moment bezogen auf einen zentralen Durchmesser | MIT OCW 2.72 Vorlesung 3 |
| Lineare Superposition | Bedingte Modelloperation | MIT OCW 2.72 Vorlesung 3 legt Linearität, Lastunabhängigkeit und Annahmen zu kleinen geometrischen Änderungen fest |
| g₀ und Einheitsfaktoren | Konventionelle Metrologie / exakte Definitionen | BIPM CGPM Resolution 3-2; NIST SP 811 Appendix B |
- MIT OCW 2.082, Schiffbau-Strukturanalyse & -Design, Knickungsnachweise — Seite 1 zeigt den Ausdruck für die maximale Verformung bei einfach gestützter gleichförmiger Last.
- MIT OCW 2.72, Elemente des Maschinenbaus, Vorlesung 3 — zentrale Lastverformung, kreisförmiges I und Superpositionsannahmen.
- MIT OCW 1.050, Festkörpermechanik, Übungsaufgaben 11 — Strahlverformungsformelsammlung.
- Missouri S&T, Computermodellierungslabor — veröffentlichte numerische Prüfung der gleichförmigen Last.
- BIPM, 3. CGPM Resolution 2 — konventionelle Standardgravitation 9.80665 m/s² und Unterscheidung zwischen Masse und Gewicht.
- NIST SP 811 Appendix B.8 — Umrechnungsbasis für Zoll, Pfund und Pfund-Kraft.
Zugriff: 14. Juli 2026. Die oben verwendeten MIT-PDF-Seiten wurden während der Prüfung gerendert und visuell überprüft.
Fragen, die dieses Arbeitsblatt nicht beantwortet
Welche Wellenverformung ist zulässig?
Es gibt kein universelles Limit von 25–50 μm, 0.1 mm oder „10% der Lagerfreispiels“-Grenze, das diese Seite sicher anwenden kann. Die Zulassung hängt von der tatsächlichen Lagerung, Dichtung, Kupplung, Rotorgeometrie, Lastfall, Betriebszustand, Messdefinition und den kontrollierten Anlag-/Projektanforderungen ab.
Ist statische Hängung dasselbe wie Rundlauffehler oder 1× Schwingung?
Nein. Statische elastische Verformung, angezeigter Rundlauffehler und synchrone Schwingung sind verschiedene Größen. Eine universelle „TIR = 2 × Hängung“- oder „Hängung erzeugt 1× Schwingung“-Regel wird hier nicht angewendet; die Messaufstellung und das rotierende Systemmodell müssen definiert werden.
Verringert der Durchmessererhöhung immer im vierten Potenz?
Nein. Bei festgelegten externen q oder F treibt I eine Abhängigkeit im vierten Potenz für einen festen Kreis. Wenn q selbst das Eigengewicht der Welle ist, wächst q mit d², so dass die resultierende Eigengewichtshängung als 1/d² variiert. Gemischte Lasten haben keinen einzigen Durchmessers exponenten.
